שאלה פתורה בחקירת פונקציות - מתוך בגרות 5 יח' קיץ 2009

תרגיל

נתונה פרבולה שמשוואתה  y = (m-1)x² - (2m - 2)x +9 - m

א. עבור אילו ערכים של m הפרבולה אינה עוברת מתחת לציר ה- x?

ב. עבור אילו ערכים של m קדקוד הפרבולה נמצא מעל הישר  y = 4, כאשר לפרבולה יש מקסימום?

הערה: פתרון סעיף ב אינו תלוי בפתרון סעיף א.

 

פתרון

סעיף א


משוואת הפונקציה המעריכית ממעלה שניה נתונה ע"י : 
y = ax² + bx +c . 
צורתה של הפונקציה היא פרבולה.
כאשר a > 0 קדקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום, וכאשר a > 0 קדקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום.
 
 
פרבולה עם נקודת מינימום מעל ציר x (ה- x של נקודת המינימום גדול מאפס).
פרבולה עם נקודת מינימום מעל ציר x (ה- x של נקודת המינימום גדול מאפס).
 
על מנת שהפרבולה לא תעבור מתחת לציר x נדרוש כאמור שהיא תהיה בעלת נקודת מינימום כלומר a >0.
בנוסף נדרש שהפרבולה לא תחתוך את ציר  x או תשיק לו בנקודת המינימום שהרי דרשנו שהיא לא תעבור מתחת לציר x.
כלומר נדרוש שלא יהיו לה שורשים כלל או שורש אחד: b²- 4ab 0
ולכן עבור הפונקציה : y = (m-1)x²- (2m – 2)x + 9- m
נציב:
עבור התנאי a > 0:
m – 1 >0
(2m -2)2 -4(m-1)(9-m) ≤ 0
m > 1
   
 עבור התנאי
b²- 4ab 0
4m2 – 8m +4 -4(-m2 +10m -9) ≤ 0
4m2 – 8m +4 + 4m2 -40m +36 ≤ 0
8m2 – 48m + 40 ≤ 0
m2 – 6m + 5 ≤ 0
(m – 1)(m – 5) ≤ 0
מתקבלים האי שוויונים:
 1 ≤ m ≤ 5
m > 1
החיתוך ביניהם (פתרון סעיף א): 
 1 ≤ m ≤ 5

סעיף ב
נתונה סקיצה של פרבולה עם נקודת מקסימום y = ax2 + bx +c   שקדקודה מעל הישר y= 4
 
פרבולה עם נקודת מקסימום
פרבולה עם נקודת מקסימום (ברביע הרביעי)

נבדוק עבור אילו ערכים של m לפרבולה y = (m-1)x² - (2m - 2)x +9 - m , נקודת מקסימום מעל הישר y=4.

דרוש:

a<0 - פרבולה עם נקודת מקסימום.

c - b^2/4a > 4 - קדקוד הפרבולה מעל הישר  y =4.

נציב בפרבולה עם הפרמטר m ונקבל:

m -1 < 0


תנאי ראשון : m < 1

נפתח תנאי שני:

9 - m + 1 - m - 4 > 0

2m < 6

תנאי שני: m < 3

החיתוך של תנאי 1 ו- 2 הוא m <1.

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה