שאלה פתורה בחקירת פונקציות - מתוך בגרות 5 יח' קיץ 2009


http://3.bp.blogspot.com/-wiKDCk2z9DQ/TV2TSHvXelI/AAAAAAAABOg/ZCQVHOTpDt4/s1600/%25D7%25A9%25D7%2590%25D7%259C%25D7%2594%2B%25D7%259E%25D7%25A1%25D7%25A4%25D7%25A8%2B1.GIF

תשובה לסעיף א
משוואת הפונקציה המעריכית ממעלה שניה נתונה ע"י
y = ax² + bx +c . צורתה של הפונקציה היא פרבולה.
כאשר a > 0 קודקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום, וכאשר a > 0 קודקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום.


http://3.bp.blogspot.com/-2DGoBtyKn3A/TV2S-2lIF_I/AAAAAAAABOY/spD1w7z1Ouk/s1600/%25D7%25A4%25D7%25A8%25D7%2591%25D7%2595%25D7%259C%25D7%2594%2B%25D7%25A2%25D7%259C%2B%25D7%25A6%25D7%2599%25D7%25A8%2B%25D7%2590%25D7%2599%25D7%25A7%25D7%25A1.GIF


על מנת שהפרבולה לא תעבור מתחת לציר x נדרוש כאמור שהיא תהיה בעלת נקודת מינימום כלומר a >0.
בנוסף נדרש שהפרבולה לא תחתוך את ציר  x או תשיק לו בנקודת המינימום שהרי דרשנו שהיא לא תעבור מתחת לציר x.
כלומר נדרוש שלא יהיו לה שורשים כלל או שורש אחד: b²- 4ab 0
ולכן עבור הפונקציה : y = (m-1)x²- (2m – 2)x + 9- m
נציב:
עבור התנאי a > 0:
m – 1 >0
(2m -2)2 -4(m-1)(9-m) ≤ 0
m > 1
   
 עבור התנאי
b²- 4ab 0
4m2 – 8m +4 -4(-m2 +10m -9) ≤ 0
4m2 – 8m +4 + 4m2 -40m +36 ≤ 0
8m2 – 48m + 40 ≤ 0
m2 – 6m + 5 ≤ 0
(m – 1)(m – 5) ≤ 0
מתקבלים האי שיויונים:
 1 ≤ m ≤ 5
m > 1
החיתוך ביניהם (פתרון סעיף א): 
 1 ≤ m ≤ 5

סעיף ב
נתונה סקיצה של פרבולה עם נקודת מקסימום y = ax2 + bx +c שקודקודה מעל הישר y= 4







אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה