שאלה פתורה מתמטיקה ממבחן מפמר כיתה ט רמה רגילה מאי 2012 - פרבולה



1. בציור שלפניכם משורטט גרף של פונקציה
פרבולה עם נקודת מינימום ושני שורשים
פרבולה עם נקודת מינימום ושני שורשים חיוביים
א.      איזו מבין הפונקציות הבאות מתאימה לתאר את הגרף הנתון?
I
.    t(x) = 2(x – 3)2 + 4
II.   p(x) = –2(x + 3)2 – 4
III.  k(x) = –2(x – 3)2 – 4
IV.  n(x) = 2(x – 3)2 – 4

פתרון סעיף א
הפונקציה הינה פרבולה עם שני נקודות חיתוך על ציר x  ולכן ישנם שני שורשים (פתרונות). לפיכך תשובות 1,2,3 נפסלות כי אלו פונקציות  ללא נקודות חיתוך עם ציר x, לדוגמא פונקציה  2:
 p(x) = –2(x + 3)2 – 4
נקודות חיתוך עם ציר x כאשר  0  p(x) =
0 = –2(x + 3)2 – 4
4 =  –2(x + 3)2
2- = (x + 3)2  - אין פתרון כי אין מספר שריבועו שלילי.
התשובה הנכונה הנה תשובה 4.

ב. נתונה הפונקציה:   m(x) = (x – 3)2 – 4

הקיפו בעיגול "נכון / לא נכון" לגבי כל טענה:

I. לפונקציה y = –7 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה נכון / לא נכון
II. לפונקציה y = 0 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה נכון / לא נכון
III. לישר x = 3 יש נקודת חיתוך אחת עם הפונקציה הנתונה       נכון / לא נכון
IV. לפונקציה הנתונה ולפונקציה f(x) = (x – 3)2 יש אותו ציר סימטריה נכון / לא נכון 
פתרון סעיף ב
התשובה הנכונה היא 2. הפונקציה y= 0 היא ציר x בעצמו ויש לציר x שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה.

 

 יש שני פתרונות למשוואות ולכן יש שני נקודות חיתוך עם y = 0



ג. באיזה תחום הפונקציה שלילית? הציגו דרך פתרון.

פתרון סעיף ג
בסעיף הקודם מצאנו שני נקודות חיתוך לפונקציה עם ציר x, שהן: 7, 1-
גרף הפונקציה (פרבולה) יראה כך:
פרבולה עם נק' מינימום, שתי נק' חיתוך עם ציר x
פרבולה עם נק' מינימום, שתי נק' חיתוך עם ציר x

ניתן לראות כי לפרבולה ערכים שליליים (הקטע בצבע כחול של הפרבולה) עבור x קטן מ- 7 וגדול מ- (1-)
 




ד. כתבו פונקציה ריבועית שהקודקוד שלה הוא (4-, 3)  ואין לה נקודות חיתוך עם ציר x.



פתרון סעיף ד

הפונקציה הריבועית היא מהצורה:

חישוב פרבולה ע"פ מיקום קודקודה וחיתוך עם הצירים
קודקודה בשיעור (4-, 3) . הפרבולה תהיה מהצורה:


מתחת לציר x ללא נקודות חיתוך עם ציר x כלומר מהצורה בסקיצה.

לפרבולה נקודת מקסימום לכן a < 0

קודקוד הפרבולה בשיעור (4-, 3) לכן ע"פ נוסחאות שיעורי הפרבולה:


 

נבחר   a = -1 ע"פ התנאי a < 0



קיבלנו b = 6
c = -13

 ולכן המשוואה הריבועית:




קישורים:

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה