זהויות טריגונומטריות - הוכח: סכום ריבוע סינוס זוית וריבוע קוסינוס אותה זוית שווה אחד.

משולש ישר זוית ABC
משולש ישר זוית ABC
הוכח כי עבור זוית כלשהי מתקיימת הזהות הטריגונומטרית:



הוכחה:

נניח כי הזוית היא זוית חדה במשולש ישר זוית שקודקודיו ABC , ניצביו a,b והיתר c.

במשולש ABC מתקיים:
 

נבדוק הביטוי סכום ריבוע סינוס זוית וריבוע קוסינוס אותה זוית:


אך ע"פ משפט פיתגורס

לכן: 

 ולכן:

 מ.ש.ל

ניתן להוכיח במקרה הכללי ע"פ הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות במעגל היחידה. זהו מעגל ברדיוס יחידה שמרכזו מתלכד עם ראשית הצירים. הרדיוס יוצר זוית עם הכיוון החיובי של ציר x. ומתבוננים בקצה הרדיוס על מעגל היחידה (נקודה A בסקיצה להלן).
  מוגדר כשיעור x של קצה הרדיוס על המעגל
  מוגדר כשיעור y של קצה הרדיוס על המעגל.
מעגל היחידה ופונקציות טריגונומטריות סינוס וקוסינוס
מעגל היחידה ופונקציות טריגונומטריות סינוס וקוסינוס
 ניתן לראות ע"פ משפט פיתגורס כי במשולש ישר הזוית ABO סכום ריבועי שיעור x ו- y שווה לרדיוס המעגל היחידה כלומר:
 
 מ.ש.ל

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה