שאלה 1 - פרבולה - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד


שאלה 1 - פרבולה - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד



ב. מצאו את משוואת הישר העובר דרך קדקוד הפרבולה E לקודקוד D של המלבן.

ג. חשבו את היקפו של משולש EDC

ד. נתונה הפונקציה
 רשמו דוגמה לערך של הפרמטר m כך שתתקבל פונקציה ריבועית שאין לה נקודות חיתוך עם המלבן. נמקו.


פתרון

פתרון סעיף א
חישוב שיעור נקודה B
שיעורי קודקוד הפרבולה עבור הם:
נציג את הפרבולה בצורתה הקנונית  ונחשב את ערך x של קודקודה E.



מקדמי המשוואה הפרבולית a,b,c הם:



נחשב את הערך x של קודקוד הפרבולה E:



שיעור x של קודקוד המלבן A הוא 5- , ושיעור x של נקודה E אמצע צלע המלבן AB הוא 1-.
מכאן אורך AE = 4, ואורך צלע המלבן AB הוא 8. לכן ערך x של נקודה B הוא 3. ערך y של B הוא כמו של A , שווה 5. 
לכן שיעור הנקודה B הוא: (3,5)


שיעור נקודה C

נקודה C היא מפגש בין הישר BC שמשוואתו x = 3 לפרבולה. נציב במשוואת הפרבולה x=3:



שיעור נקודה C הוא: (3,1)


שיעור נקודה D

ערך x  של נקודה D זהה ל- x של A, וערך y של D זהה לערך y של C.
שיעור נקודה D הוא:

 
פתרון סעיף ב
 
שיעור נקודה E כפי שנמצא בסעיף א הוא : (5 , 1-)

שיעור נקודה D שחושב בסעיף א הוא:
למציאת משוואת הישר שעובר דרך נקודות E, D , נשתמש במשוואת ישר העובר דרך 2 נקודות:
 

 משוואת הישר העובר דרך נקודות D, E הוא:  y = x +6


פתרון סעיף ג

 ניתן לראות בסקיצה להלן את שיעורי קודוקדי המלבן ABCD ואורכי צלעותיו, ניתן לחשב את DE ע"פ משפט פיתגורס (על משולש ADE) ומכאן את היקף המשולש DEC.


 

משיקולי סימטריה 

ההיקף P של משולש DEC:

P = DE + CE + DC




פתרון סעיף ד

ניתן לראות כי עבור ערך m = 0 לפרבולה לא יהיו נקודות חיתוך עם המלבן.
כאשר m = 0 הפונקציה הריבועית תהיה:
 


זוהי פונקציה ריבועית בעלת שורש אחד (השווה ל- 1-) כלומר משיקה לציר x.
בנוסף היא פרבולה עם נקודת מקסימום מאחר והמקדם של   קטן מ- 0 (שווה ל-  ) ולכן כל הגרף יהיה מתחת לציר x (פרט לנקודת ההשקה לציר x)
לפרבולה זאת לא יהיו נקודות חיתוך עם ציר עם המלבן, ראה סקיצה.

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה