פתרון שאלה 4 - בגרות מתמטיקה 5 יח' - חורף 2016 - מעגל חוסם מרובע

מתוך בגרות מתמטיקה 5 יח' - חורף 2016 


 שאלה 4





פתרון שאלה 4

נשרטט את המעגל עם הנקודות M,N. ונסמן המעגל באות O.

א.
נוסיף בניית עזר את הקטע EN , נוכיח כי המרובע CDEN הוא מלבן ומזה נובע כי CD = EN.

הוכחה
1: זוית EDC ישרה - זוית בריבוע. ABCD ריבוע וכל זויותיו ישרות


2: CE קוטר - נובע מ- 1, אם במעגל (O) זוית היקפית ישרה (EDC) נשענת על מיתר אזי המיתר הוא קוטר.

3: זוית ENC ישרה - זוית היקפית נשענת על הקוטר EC במעגל O ולכן ישרה.

4: זוית NCD ישרה - זוית בריבוע ABCD
5: זוית NED ישרה - נובע מ- 1,3,4 - אם במרובע DENC שלש זויות ישרות אזי גם הזוית הרביעית ישרה מאחר וסכות זויות במרובע הוא 360 מעלות

6: מרובע DENC מלבן - מרובע שזויותיו ישרות הוא מלבן.
7. CD = EN - צלעות נגדיות במלבן DENC שוות.

מ.ש.ל

ב. 
הקטע DM קצר מקטע CE - נוכיח:

1: CE = DN - אלכסונים במלבן (DENC) שווים
2: זוית EMD חדה - זוית במשולש ישר זוית (DEM) שאינה ישרה חייבת להיות חדה
3: זוית DMN קהה - צמודה לזוית חדה EMD כל קטע EN
4: DN הצלע הגדולה במשולש DMN מאחר ומולה זוית קהה DMN
5: DN גדול מ- DM - נובע מ- 4
6: CE גדול מ- DM - נובע מ- 1,5

ג.
נדרש להוכיח כי BM*BD = AE*AD
בונים ב.ע את הקטע MN ומוכיחים כי משולש BMN ישר זוית שזויותיו החדות 45 מעלות. מוכיחים הנדרש ע"י דמיון משולשים BMN, ABD ושיוויון הקטעים: AE = BN.


הוכחה:
DN = CE: 1 - אלכסונים במלבן CDEN ( הוכחנו בסעיף א.6 ש- CDEN מלבן)

2: DN קוטר מעגל O - נובע מ- 1
3: זוית DMN ישרה - זוית היפית במעגל O נשענת על קוטר DN היא זוית ישרה.
4: משולש BMN ישר זוית - נובע מ- 3
5: זוית MBN שווה 45 מעלות - זוית בין אלכסון BD לריבוע ABCD שווה 45 מעלות
6: משולש BMN ישר זוית שזויותיו החדות 45 מעלות - נובע מ- 5,4.
7: משולש ABD ישר זוית שזויותיו החדות 45 מעלות - משולש ABD נוצר בין אלכסון BD לריבוע ABCD , זויותיו החדות הן 45 מעלות
8: משולשים ABD, BMN דומים - נובע מ- 6,7 - משולשים השווים בזויותיהן דומים.
9: מהדימיון נובע: BM/BN = AD/BD
10: אך BN = AE - צלעות במלבן ABNE הנוצר מהפרש שטח ריבוע ABCD למלבן DENC
11: לכן BM/AE = AD/BD  נובע מ- 9,10
12: לכן  BM*BD = AE*AD - נובע מ- 11

מ.ש.ל


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה