הסתברות - משתנה אקראי, פונקציית התפלגות ומרחב מדגם

נניח שאנו מבצעים ניסוי עם מספר סופי של תוצאות אפשריות, שנסמן אותן באותיות w1, w2, ...

 לדוגמא, הטלת קובייה התוצאות האפשריות הן 1,2,3,4,5,6 או בהטלת מטבע יש שתי תוצאות אפשריות H - ראש או T - זנב.

סימון לעתים קרובות שימושי כדי  להתייחס לתוצאה של ניסוי. לדוגמה, אנו עשויים רוצה לכתוב הביטוי המתמטי אשר נותן את הסכום של ארבע הטלות של קובייה. לשם כך, אנחנו נוכל לכתוב את הביטוי:
 Xi , i = 1,2,3,4 מייצג את הערכים של התוצאות של 4 תוצאות.
 ואז נוכל לכתוב את הביטוי X1 + X2 + X3 + X4 ,  הסכום של ארבע תוצאות.

המשתנה Xi המייצג תוצאה אפשרית של הניסוי נקרא משתנה מקרי או משתנה אקראי.  משתנה אקראי הוא ביטוי המייצג תוצאה של ניסוי מסוים. בדיוק כמו במקרה של סוגים אחרים של משתנים במתמטיקה, משתנה מקרי יכול לקבל ערכים שונים.

נניח ש- X הו  משתנה אקראי המייצג תוצאה כלשהי של הטלת קוביה. נסמן גם את ההסתברויות של  התוצאות האפשריות של ניסוי זה. אנו עושים זאת על ידי הקצאה לכל תוצאה wi מספר לא שלילי m(wi)  כך ש:
 m(w1) + m(w2) + m(w3) + m(w4) + m(w5) + m(w6) = 1

הפונקציה m(wi) נקראת פונקציית התפלגות של משתנה אקראי  X.

עבור המקרה של הטלת קוביה אנו מסמנים הסתברויות שוות או הסתברות 1/6 עבור כל אחת מהתוצאות.

 אפשר לכתוב P(X<4) = 1/2 כלומר ההסתברות לתוצאות קטנות מ- 4 (1,2,3) בהטלת קוביה היא 1/2.


משתנה אקראי ומרחב מדגם - הגדרה:

נניח ניסוי שתוצאותיו תלויות באופן אקראי. תוצאות הניסוי מיצגות ע"י אות X, הנקרא משתנה אקראי
 מרחב המדגם של הניסוי הוא אוסף כל התוצאות אפשריות.  
אם מרחב המדגם הוא סופי או אינסופי  המשתנה המקרי דיסקרטי

דוגמא:
מטילים קוביה פעם אחת. X מייצג תוצאות אפשריות של ההטלה מרחב המדגם הוא הקבוצה בעלת 6 האלמנטים: {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } = T
אם נניח הקוביה הוגנת אזי קיים סיכוי שווה לכל תוצאה. אנו אומרים כי קיימת הסתברות שווה לקבל תוצאה של כל אחד מהאלמנטים.
הקבוצה { 2 ,4, 6} היא תת קבוצה של מרחב המדגם לעיל ומציינת אירוע של תוצאה זוגית.

הגדרת פונקציית התפלגות:
נניח משתנה מקרי X המייצג תוצאה אפשרית w של ניסוי. ומרחב מדגם T הוא קבוצה המכילה כל התוצאות האפשריות של X.
פונקציית ההתפלגות של X היא פונקצייה המקבלת ערכים ממשיים והתחום שלה הוא מרחב המדגם T.
פונקציה זאת מקיימת:
1. m(w) >=0
2. סכום כל ה- m(w) שווה 1. עבור כל אלמנט w ב- T.
3. תת קבוצה E המורכבת ממספר אלמנטים w של T , ההסתברות לתת קבוצה E מסומנת P(E) ושווה לסכום ה- m(w) עבור כל אלמנט w המרכיב את E.

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה