פתרון שאלה 3 - בגרות מתמטיקה 5 יח' - חורף 2016 - בעית הסתברות

מתוך מבחן בגרות מתמטיקה 5 יחידות חורף 2016

שאלה מספר 3

במכונת מזל אפשר לזכות ב- 50 שקל, ב- 100 שקל או לא לזכות בכלל.
דן משחק 5 משחקים במכונה זאת.
ההסתברות שדן יזכה ב- 50 שקל בדיוק פעמיים שווה להסתברות שהוא יזכה ב- 50 שקל בדיוק פעם אחת.
(ההסתברות לזכות ב- 50 שקל שונה מאפס).
ההסתברות שדן לא יזכה באף משחק היא 1/32.
א. מהי ההסתברות שדן יזכה ב- 50 שקל במשחק בודד?
ב. מהי ההסתברות שדן יזכה ב- 100 שקל במשחק בודד?
ג. ידוע כי לאחר שדן שיחק שני משחקים הוא זכה סך הכל ב- 100 שקל בדיוק.
מהי ההסתברות שהוא לא זכה ב- 50 שקל באף אחד משני המשחקים?


פתרון

א. נסמן ב- p הסתברות שדן לא יזכה בכלל במשחק אחד.
ההסתברות שדן לא יזכה בכלל ב- 5 משחקים היא p^5
לכן:
p^5 = 1/32
p=1/2
נסמן ב- q ההסתברות שדן יזכה ב- 50 שקל במשחק בודד. וב- r ההסתברות שדן יזכה ב- 100 שקל במשחק בודד.
נשתמש גם באותיות p, q, r להצגת תותאות המשחק
ההסתברות שדן יזכה ב- 50 שקל בדיוק פעם אחת
  התוצאות האפשריות הן אלו: qpppp, pqppp, ppqpp, pppqp, ppppq
לכן ההסתברות:




ההסתברות שדן יזכה ב- 50 שקל בדיוק פעמיים.
התוצאות האפשריות הן אלו: qqppp, qpqpp, qppqp, qpppq, ppppq, pqqpp, pqpqp, pqppq, ppqqp, ppqpq
 

ע"פ השאלה ההסתברות שדן יזכה ב- 50 שקל בדיוק פעמיים שווה להסתברות שהוא יזכה ב- 50 שקל בדיוק פעם אחת, לכן:

 
נפתח ונקבל:
 


אך ידוע לנו כפי שחישבנו לעיל: p = 1/2
לכן q = 1/4 בנוסף, סכום הסתברויות התוצאות בכל הגרלה הוא אחד, לכן: p+q+r = 1
נציב p=1/2 ן- q=1/4 ונקבל r=1/4

לכן ההסתברות שדן יזכה במשחק בודד ב- 50 שקל היא 1/4 .
ההסתברות שדן יזכה במשחק בודד ב- 100 שקל היא 1/4 .

ג. התוצאות בשני המשחקים היו זכיה ב- 100 שקל באחד, וזכיה בכלום בשני.
כלומר שתי התוצאות: pr , rp
ההסתברות לכך היא:
p*r +r*p = 1/4

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה