זהויות טריגונומטריות - טנגנס וקוטנגנס סכום שתי זויות

קימות ארבע זהויות טריגונומטריות -לסכום שתי זויות

 
sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ
tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα tanβ)
cot(α + β) = (cotα cotβ – 1) / (cotα + cotβ)


בפרק זה נוכיח משוואות טנגנס וקוטנגנס סכום שתי זויות


 טנגנס סכום שתי זויות

נוכיח את הנוסחה:
tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα tanβ)


הוכחה
להוכחת הנוסחה לחישוב טנגס של חיבור שתי זוויות נשתמש בנוסחת חלוקת הסינוס בקוסינוס:
 tanα = sinα / cosα

נשתמש גם בזהויות משוואת קוסינוס של סכום שתי זויות ומשוואת סינוס סכום שתי זויות שהוכחנו.


tan(α + β) = sin(α + β) / cos(α + β) = (sinα cosβ + cosα sinβ) / (cosα cosβ – sinα sinβ)
tan(α + β) = (sinα cosβ + cosα sinβ) / (cosα cosβ – sinα sinβ)

נחלק את המונה ואת המכנה של השבר שבאגף הימני ב- cosα,


tan(α + β) = (tanα cosβ + sinβ) / (cosβ – tanα sinβ)

נחלק את המונה ואת המכנה של השבר שבאגף הימני ב- cosβ,

tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα tanβ)

קוטנגנס סכום שתי זויות

נוכיח
 cot(α + β) = (cotα cotβ – 1) / (cotα + cotβ)

הוכחה
את הנוסחה לחישוב קוטנגס של חיבור שתי זוויות נקבל על-ידי הפיכת פונקצית הטנגס,

(נזכיר ש- cotα = 1 / tanα)


tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα tanβ)
cot(α + β) = (1 – tanα tanβ) / (tanα + tanβ)
cot(α + β) = (1 – 1/(cotα cotβ)) / (1/cotα + 1/cotβ)

נחלק את המונה ואת המכנה של השבר שבאגף הימני ב- cotα cotβ,


cot(α + β) = (cotα cotβ – 1) / (cotα + cotβ)