פתרון שאלה 5 - בגרות מתמטיקה 4 יחידות קיץ 2016 - גיאומטריה - תיכונים במשולש

 מתוך מבחן בגרות מתמטיקה 4 יחידות קיץ 2016

שאלה 5

 

AC ו- CE הם תיכונים במשולש ABC הנפגשים בנקודה M (ראה ציור).

נתון :

12 ס"מ = AD

9 ס"מ = CE

∠CMD = 40⁰

א. חשב את אורכי הקטעים : MC, MD.

ב. חשב את אורך הצלע BC.

ג. חשב את גודל הזווית MDC.

ד. חשב את שטח המשולש ADB.

פתרון שאלה 5

א. למציאת אורכי הקטעים MC, MD נשתמש במשפט: כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זהה לשני קטעים כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהקטע הקרוב לצלע.

כל המידות בס"מ
1:  AD = 12 נתון
2: מכאן  MD = 4 נובע מ- 1 והמשפט כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זהה לשני קטעים כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהקטע הקרוב לצלע

3:   CE = 9 - נתון
4:  MC = 6  - נובע מ- 3 והמשפט כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זהה לשני קטעים כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהקטע הקרוב לצלע

ב. נתבונן במשולש CMD, נתונים לנו אורכי הצלעות MC, MD והזוית ביניהן CMD, ניתן למצוא לפי משפט הקוסינוסים את אורך הצלע CD מול הזוית CMD. הצלע BC שווה פעמיים CD מאחר ו- AD תיכון ל- BC.

5:   MD = 4 , MC = 6  - הוכח ב-  2,4
6:  
 7:  - משפט הקוסינוסים משולש CMD

8: - הצבת 5,6 ב- 7

9: CD = 3.9 - נובע מ- 8
10: BC = 7.8 - הצלע BC שווה פעמיים CD מאחר ו- AD תיכון ל- BC במשולש ABC (נתון)

 ג. נתבונן במשולש CMD. ידועות לנו צלעות המשולש מסעיפים א, ב: MD = 4, MC = 6 , CD = 3.9 ונתונה גם הזוית: .

נמצא את זוית MCD ע"פ משפט הסינוסים.



ד. מציאת שטח משולש ADB

משולש ABC ובניית עזר הגובה AQ

 

ב.ע: בונים הגובה AO למשולש ABD
זוית ADB חיצונית למשולש CMD לכן שווה לסכום זויות המשולש שאינן צמודות לה, כלומר:


נתבונן במשולש ישר זוית AOD


שטח משולש ADB הוא:
מחצית מכפלת הבסיס BD בגובה AO
BD שווה מחצית BC כלומר BD = 3.9

שטח משולש ABD שווה 23.1 סמ"ר