משפט: נקודות האמצע של צלעות מרובע הן קודקדי מקבילית

א. הוכח כי נקודות האמצע של מרובע כלשהו הן קודקודי מקבילית.
ב. עבור איזה מרובע המקבילית היא גם מלבן, מעוין, או ריבוע.

הוכחת סעיף א.

נתון
 מרובע ABCD
K, L, M, N הן מרכזי הצלעות AB, BC, CD, AD בהתאמה.

צריך להוכיח:
מרובע KLMN מקבילית

הוכחה

נתבונן במשולש ABC
KL הוא קטע אמצעים מאחר וחוצה צלעות AB ו- BC
1: לכן KL = AC/2 וכן KL||AC - קטע אמצעים במשולש (ABC) שווה למחצית הצלע השלישית ומקביל לה.

2: באותה דרך מוכיחים כי MN הוא קטע אמצעים של משולש ACD ולכן MN = AC/2 ו- MN||AC

מ- 1,2 מסיקים כי KL = MN , KL || MN מכאן מרובע KLMN מקבילית - אם במרובע זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות המרובע הוא מקבילית.

 

הוכחת סעיף ב.

מסעיף א ניתן לראות כי המקבילית המתקבלת מחיבור אמצעי צלעות המרובע היא בעלת זוגות צלעות מקבילות לאלכסוני המרובע ושוות למחציתן.

מכאן שאם אלכסוני המרובע מאונכים נקבל מקבילית שהיא מלבן.

אם אלכסוני המרובע שווים נקבל מקבילית שהיא מעוין.

אם אלכסוני המרובע שווים ומאונכים נקבל מקבילית שהיא ריבוע.