כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זהה לשני קטעים כך שהקטע הקרוב לקדקוד גדול פי 2 מהקטע הקרוב לצלע

קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע השלישית הוא קטע אמצעים במשולש

קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע השלישית הוא  קטע אמצעים במשולש

גיאומטריה - הוכחת המשפט: אם בטרפז הזוויות שליד אחד הבסיסים שוות זו לזו אז הטרפז שווה שוקיים

המרת מעלות טמפרטורה מפרנהייט לצלזיוס - מתוך מבחן בגרות מתמטיקה 3 יח' חורף 2007

שאלה

לפניך נוסחה לחישוב טמפרטורה במעלות צלזיוס, C, כאשר הטמפרטורה נתונה במעלות פרנהייט, F :

C = (5F - 160) / 9

א. נקודת הרתיחה של המים היא 212 מעלות פרנהייט.

מצא על סמך הנוסחה הנתונה את נקודת הרתיחה של המים במעלות צלזיוס.

ב. מצא את הטמפרטורה שבה F = C.

ג. רשום נוסחה לחישוב טמפרטורה במעלות פרנהייט, כאשר הטמפרטורה נתונה במעלות צלזיוס.

 

פתרון

הנוסחה לחישוב מעלות צלזיוס (C) כפונקציה של מעלות פרנהייט (F) נתונה: C = (5F - 160)/9.

סעיף א
עבור טמפרטורה של 212 מעלות פרנהייט F = 212 , נציב בנוסחה ונקבל:

C = (5F - 160)/9 = (5*212 - 160)/9 = 100

כלומר 212 מעלות פרנהייט הם 100 מעלות צלזיוס (נקודת רתיחה של מים)


סעיף ב

למציאת הטמפרטורה שבה F=C נניח כי הם שווים ל- x כלשהוא כלומר F=C=x

נציב בנוסחה את x:

x = (5x - 160)/9
9x = 5x - 160
4x = - 160
x = - 40

כלומר בטמפרטורה 40 מעלות פרנהייט היא גם (זהה) ל- 40 מעלות צלזיוס


סעיף ג

נמצא מעלות פרנהייט כפונקציה של צלזיוס, כלומר F כפונציה של C.
נתון כי C = (5F - 160)/9

9C = 5F - 160
9C +160 = 5F
F = (9C +160)/5

משוואת ישר במערכת צירים ע"פ שיפוע ונקודה על ציר y - מתוך בגרות 3 יח' חורף 2007

 שאלה

א. מצא את משוואת הישר , העובר דרך הנקודה B(0, 10) ושיפועו 1-.

ב. מה הן הנקודות החיתוך של הישר עם מערכת הצירים?

ג. סרטט במערכת צירים את הישר.

ד. חשב את שטח המשולש שהישר יוצר עם הצירים. 

פתרון

נתון ישר ששיפועו (1-) ועובר דרך הנקודה B(0, 10) .

נשרטט את הישר בגרף:

סעיף א - משוואת הישר

משוואת הישר y = ax + b , כאשר a שיפוע הישר ו- y = b היא נקודת חיתוך עם ציר y.

שיפוע הישר נתון a = (-1) , ונקודת חיתוך עם ציר y נתונה: 10.

לפיכך משוואת הישר :  y = -x + 10 

סעיף ב - נקודות חיתוך של הישר עם הצירים

נקודת חיתוך של הישר עם ציר y נתונה: B(0, 10).

מציאת נקודת חיתוך של הישר עם ציר x - הצבה במשוואת הישר y = 0 , ונקבל x = 10.

לכן נקודת חיתוך עם ציר x הינה: (0, 10)

סעיף ג - הישר משורטט בגרף מערכת הצירים לעיל.

סעיף ד - שטח המשולש שיוצר הישר עם הצירים: 50 =  2 /10*10

בעית גרף פתורה - מתמטיקה 3 יחידות - חורף 2007

שאלה 1

הגרף שלפניך מציג את המחיר שחברת הטלפונים גובה עבור שיחות בטלפון ביתי, לפי מספר פעימות מונה בחודש.

 

 עיין בגרף וענה על סעיפים א- ב:

א. מהו המחיר ל- 100 פעימות מונה הראשונות בחודש?

ב. כמה שקלים מוסיפים לחשבון הטלפון עבור כל פעימת מונה בתחום שבין 100 ל- 175 פעימות מונה בחודש?

 

פתרון שאלה 1

סעיף א 

המחיר שחברת הטלפונים גובה עבור כמות שיחות עד מאה בחודש הוא 60 שקלים, רואים זאת בקטע הגרף הראשון של עלות צריכת הפעימות המקביל לציר X . 

סעיף ב 

כמה שקלים מוסיפים עבור כל פעימת מונה בין 100 ל- 175. קטע הגרף האמצעי בין 100 ל- 175 מתאר את העלות עבור הפעימות בשאלה. שיפוע הגרף בקטע האמצעי הוא עלות תוספת עבור על פעימת מונה בקטע בין 100 ל- 175 פעימות.  

השקלים שמוסיפים לחשבון הטלפון בתחום פעימות בין 100 ל- 175= = (175-100)/(120-60) = 0.8 שקלים

שטח מעוין - מתוך בגרות 3 יח' חורף 2007

שאלה

4. כדי לבנות עפיפון גזרו מעוין ABCD (ראה ציור).

     אורך צלע המעוין הוא 50 ס"מ , וזווית הראש שלו היא 70⁰.

    א.  חשב את אורך המקלות AC ו- BD שצריך להשתמש בהם לבניית העפיפון.

    ב. מהו שטח הנייר ממנו עשוי העפיפון?

 

גיאומטריה - מלבן חסום במעגל - תרגיל פתור

המעגל - מושגים בסיסיים

קטעים במעגל: קוטר, רדיוס ומיתר

 

קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל נקרא מיתר.

 

קטעים במעגל: קוטר, רדיוס ומיתר

רדיוס (מחוג) הוא קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה הנמצאת על שפת המעגל. אורכו מסומן באות R (או  r).

מיתר העובר דרך מרכז המעגל נקרא קוטר (מסומן באות d, או D), ואורכו שווה לפעמיים רדיוס המעגל, כלומר D=2R.
 

חותך למעגל, משיק, וישר חיצוני למעגל

 

לישר ולמעגל עשויות להיות 2 נקודות חיתוך, נקודת חיתוך אחת או שאין נקודות חיתוך בכלל.

 

חותך למעגל, משיק, וישר חיצוני למעגל

א. אם לישר יש שתי נקודות חיתוך עם המעגל, אז הוא נקרא חותך למעגל.

ב. אם לישר יש נקודת חיתוך אחת עם המעגל, אז הוא נקרא משיק למעגל.

ג. אם לישר אין נקודות חיתוך עם המעגל, אז הוא נקרא ישר חיצוני (זר) למעגל.

זווית מרכזית וזווית היקפית במעגל

זווית מרכזית, זווית היקפית, רדיוס ומיתרים במעגל

R - רדיוס המעגל

O - מרכז המעגל

M1 , M2 - מיתרים במעגל 

זוויות במעגל

זווית שקודקודה במרכז המעגל נקראת זווית מרכזית (שוקיה הם שני רדיוסים במעגל)

זווית שקודקודה על היקף המעגל נקראת זווית היקפית (שוקיה הם שני מיתרים במעגל).

זווית שקודקודה בתוך שטח המעגל נקראת זווית פנימית (שוקיה הם שני חלקי מיתרים במעגל).

זווית שקודקודה מחוץ לשטח המעגל נקראת זווית חיצונית (שוקיה הם שני חותכים למעגל).

קשתות במעגל

 
שתי נקודות על שפת המעגל תוחמות ביניהן חלק מהיקף המעגל, הנקרא קשת. מאחר שנוצרות שתי קשתות, נהוג להתייחס לקשת הקטנה ביניהן (אלא אם נאמר אחרת; אם הקשתות שוות נדרש מידע נוסף)

נהוג לומר שגודל הקשת במעלות שווה לזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. עם זאת, יש לציין כי הגודל הנ"ל מהווה מדד לחלק של הקשת מתוך כל המעגל וכי מדידת אורך הקשת נעשית ברדיאנים.

המעגל מהווה את שפת העיגול, כלומר מעגל הוא הקו התוחם את שטח העיגול.

טרפז ישר זוית - תרגיל בגיאומטריה

תרגיל

ABCD הוא טרפז ישר זווית (זווית B ישרה).

האלכסון AC חותך את גובה הטרפז DE בנקודה M (ראה ציור).

מרובע ABCD - טרפז ישר זווית (זווית B ישרה)

נתון: DM = ME.

א. הוכח כי AE = EB.

ב. האנך מ- B לאלכסון AC חותך את האלכסון בנקודה G.  הוכח כי GE = EB.

 

פתרון סעיף א  

תחילה נוכיח כי המשולשים CMD ו- AME חופפים.

מ.ש.ל סעיף א.

 

פתרון סעיף ב

סעיף ב

1. ABG משולש ישר זווית - נתון, כי AG מאונך ל- BG

2. BE = AE  -  הוכח ב- 8 סעיף א.

3. BE = GE   - נובע מ- 1,2 - GE הוא תיכון ליתר AB במשולש ABG ושווה למחציתו.

זריקה אנכית של שתי אבנים - בגרות פיסיקה 5 יחידות

שאלה

א. ברגע  t = 0  נזרקה אבן מפני הקרקע , אנכית כלפי מעלה, במהירות התחלתית v₁. הגדר ציר מקום y,  שכיוונו החיובי כלפי מעלה.

רשום ביטוי ל- y₁(t) , המתאר את מקום האבן כפונקציה של הזמן (התעלם מהתנגדות האויר) , (4 נקודות)

ב. לאחר זמן T  נזרקה אבן שניה מפני הקרקע, אנכית כלפי מעלה, במהירות התחלתית v₂. כתוב ביטוי ל-y₂(t) , המתאר את מקום האבן השניהכפונקציה של הזמן, החל מרגע t = T. (5 נקודות).

ג. נתון:   v₁ = 10 m/s

v₂ = 12 m/s

T = 0.5 s.

חשב כעבור כמה זמן מרגע t = 0  תחלוף האבן השניה על פני האבן הראשונה. (9 נקודות).

ד. חשב כעבור כמה זמן  לאחר פגיעת האבן הראשונה בקרקע, תפגע בקרקע האבן השניה. (8 נקודות).

ה. על אותה מערכת צירים, שרטט גרף של y₁(t) וגרף של y₂(t) , מתחילת התנועה של האבן עד פגיעתה בקרקע. סמן את הגרפים ב- y₁(t)  y ו- y₂(t) בהתאמה. (בשרטוטך הסתמך על חישוביך בסעיפים הקודמים, אין צורך בחישובים נוספים). (7.33 נקודות).

פתרון

1. גוף הנע בתנועה שוות תאוצה a, במהירות התחלתית V₀ , הדרך כפונקציה של הזמן x(t), נתונה בנוסחה:

x(t) = V₀t + at²½

במקרה בשאלה האבן נזרקה מהקרקע במהירות התחלתית V1 ,

תאוצה כלפי הקרקע, כיוון שלילי של y : a = -g = שנ²/מ -9.8

התנועה השוות תאוצה של האבן:

y₁(t) = V₁t - ½gt²

2. האבן השניה נזרקה מהקרקע כלפי מעלה במהירות V₂ , כעבור זמן T:

משוואת התנועה של האבן השניה תהיה כמו הראשונה אלא ש- t כנדרש החל מרגע T:

y₂(t) = V₂(t-T) - ½g(t-T)²

3. 

נציב כנדרש בשאלה V1= 10m/s , V2= 12m/s , T=0.5s , האבנים תחלופנה אחת ליד
השניה כאשר:

 y1(t) = y2(t-T) 

 כאן t החל מרגע זריקת האבן הראשונה)

או בהצבה:

V₁t - ½gt² = V₂(t-T) - ½g(t-T)² 

10t - ½gt² = 12(t-0.5) - ½g(t-0.5)² 

10t - ½gt² = 12t - 6 - ½gt² + ½g - 0.125g 

10t = 12t - 6 + 0.375g

t = 1.125_sec

4. האבנים פוגעות בקרקע כאשר המרחק שעברו שווה 0.

עבור האבן הראשונה: (הפתרון t=0 אינו נדרש מאחר ומייצג את רגע הזריקה)

y₁(t) = 10t - ½gt² =0

10 = ½gt

t= 2_sec

עבור האבן השניה (הפתרון t=0.5 אינו נדרש מאחר ומייצג את רגע הזריקה)

0= 12(t-0.5) - ½g(t-0.5)²

12 = ½g(t-0.5)

t = 2.9_sec

האבן השניה תפגע בקרקע 2.9-2 = 0.9_sec לאחר האבן הראשונה

5. שרטוט הסקיצה

לשרטוט הסקיצה נציג תחילה את משוואות התנועה של כל אחד מהאבנים ונקודות חשובות. גרף מרחק התנועה כפונקציה של הזמן הוא פרבולה מאחר ומשוואת המרחק היא ריבועית.

y₁(t)= 10t - ½gt² = 10t – 5t²

y₂(t)= 12(t-0.5) - ½g(t-0.5)² =12(t-0.5) - 5(t-0.5)²

להלן גרף נוסף

שטח משולש ישר זוית במערכת צירים

 שאלה

הנקודות A(5,2) , B(-3, 2) , C(-3, -4) הן שלושה קדקודי  משולש (ראה ציור).

א. מצא את שטח המשולש.

ב. הנקודה D היא אמצע הצלע BC. 

מצא את שיעורי הנקודה D.

ג. מצא את שטח המשולש ABC  פרט את חישוביך.

ד. מצא את שטח המשולש ACD פרט את חישוביך.

  

פתרון

שרטוט משולש ABC במערכת צירים

פתרון: סעיף א 

נוכיח תחילה כי משולש ABC ישר זוית

1. הקטע AB נמצא על הישר y=2

2. הקטע BC נמצא על הישר x = -3 .

3. הקטעים AB ו- BC מאונכים - מונחים על ישרים מאונכים

4. AB = 8 - הפרש הקואורדינטות x של הנקודות A, B . 

5. באופן דומה מוצאים BC = 6 . 

6. שטח המשולש ABC:

ABC = 6*8/2 = 24 שטח משולש

סעיף ב 

הנקודה D נמצאת על הישר x = -3 ,  ולכן שיעור ה- x של הנקודה D הוא 3-.

 בנוסף הנקודה D נמצאת באמצע הקטע BC לכן שיעור ה- y של הנקודה D  יהיה ממוצע הקואורדינטה y של B ו-C.

  [2+(-4)] /2 = -1 

 שיעור הנקודה ( D(-3, -1  .

סעיף ג 

המשולש ABD ישר זוית מאחר וזוית B ישרה כפי שהוכח בסעיף א. AB = 8 - הוכח בסעיף א. BD = 3 אורך הקטע BD הוא הפרש ה- Yים של B, D כלומר : 2-(-1) = 3 השטח S של המשולש ABD הוא:

 S= AB*BD/2 = 3*8/2 = 12  

סעיף ד 

שטח המשולש ACD שווה להפרש שטחי המשולשים: ABC, ו- ABD כלומר 12

גיאומטריה - בעיה פתורה מלבן משולש שווה שוקיים וקטע אמצעים

תרגיל

 על הצלע AB של מלבן ABCD בנו משולש שווה שוקיים AMB שבו (AM = BM).

MA ו- MB חותכים את DC בנקודות F ו- E בהתאמה (ראה ציור).

EF הוא קטע אמצעים במשולש AMB.

א. הוכח כי DF = EC.

ב. הוכח כי היחס בין שטח המשולש ADE לשטח הטרפז ABCE הוא  5 :  3.

 

בעיה פתורה במכניקה החוק השני של ניוטון - מערכת גלגיליות

 תרגיל

אפרת , אשר מסתה 80 kg, מנסה להרים משא של 100 kg באמצעות מערכת גלגיליות אידאלית, כמתואר בשרטוט:

בעיה פתורה במכניקה החוק השני של ניוטון - מערכת גלגיליות

 

 א. אפרת מושכת בחוט בכח של 100 ניוטון.

(1) מהו הכח בו המשא לוחץ על הקרקע ?

(2) מהו הכח בו רגליה של אפרת לוחצות על הקרקע ?

ב. מהו הכח המינימלי אשר אפרת צריכה למשוך בו על מנת להרים את המשא ?

ג. (1) מהו הכח המינימלי אשר אפרת צריכה למשוך בו על מנת שהיא כלל לא תפעיל כח על הקרקע ?
(2) מהי תאוצת המשקולת במצב זה ?

פתרון

סעיף א

למציאת הכוח N שבו לוחצת המשקולת M על הקרקע, נשרטט דיאגרמת גוף חופשי.

 

 

דיאגרמת גוף חופשי - כוחות פועלים על מסה במערכת גלגיליות

על המסה M מופעלים הכוחות:

Mg = 100kg *9.8n/kg = 980n - כוח משיכה של כדור הארץ

T = 100n - המתיחות בחוט עקב המשיכה של אפרת

N - כוח התגובה של הקרקע

מאחר שהמסה M אינה בתנועה מואצת סכום הכוחות המועלים עליה שווים אפס.

כלומר: T + T + N - Mg = 0

ובהצבה 0 = 100 +100 +N - 980

N = 780n - כוח התגובה של הקרקע על המסה M.

למציאת הכוח שבו לוחצות רגליה של אפרת על הקרקע נשרטט דיאגרמה גוף חופשי של אפרת:

 

דיאגרמת גוף חופשי של אפרת

 
סכום הכוחות המופעלים על אפרת שווה אפס.

Mg = 80kg *9.8n/kg =784n - כוח משיכה של כדור הארץ

T = 100n - המתיחות בחוט עקב המשיכה של אפרת

N1 - כוח התגובה של הקרקע

T - Mg + N1 = 0

100 - 784 + N1 = 0

N1 = 684n - כוח התגובה של הקרקע על אפרת


סעיף ב

הכוח המינימלי T שאפרת צריכה למשוך בחוט (המתיחות בחוט) כדי להרים את המסה M, הוא כאשר כוח התגובה של הקרקע למסה M יהיה אפס.
נתבונן בדיאגרמת גוף חופשי של המסה M:
T + T + N - Mg = 0

ובהצבה 0 =2T +0 - 980

T = 490n - הכוח המינימלי שבו אפרת צריכה למשוך בחוט כדי להרים את המסה.

סעיף ג

אפרת לא תפעיל כוח על הקרקע כאשר N1 = 0

נתבונן בדיאגרת גוף חופשי של אפרת:

T - Mg + N1 = 0

T- 784 + 0= 0

T = 784n - הכוח שבו אפרת תמשוך בחוט כדי לא להפעיל כוח על הקרקע.

תאוצת המשקות - על המשקולת יופעלו במצב זה המתיחות בחוטים 2T , וכוח המשיכה של כדור הארץ Mg.

2T - Mg = Ma

2*784 - 100*9.8 = 100a

a = 5.88m/sec^2 - תאוצת המסה M.

קישורים:

• בעיה פתורה במכניקה קינטיקה - תנועה שוות תאוצה