אם במשולש תיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, המשולש הוא ישר זווית

הוכחת המשפט: אם במשולש תיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, המשולש הוא ישר זווית

נתון:

BD תיכון ליתר AC (כלומר  AD=DC).

BD =AD = DC

צ״ל:

ABC△ ישר זווית.

הוכחה:

מ.ש.ל.

הטלת קוביה - הסתברות וסטטיסטיקה- מבגרות 3 יחידות לימוד מתמטיקה חורף 2020

 מתוך שאלון בגרות 3 יחידות מתמטיקה חורף 2020 - שאלון ראשון שאלה 6

שאלה

מטילים פעם אחת שתי קוביות משחק הוגנות ומחשבים את סכום המספרים שהתקבלו בהטלה.
א. לפניך טבלת התוצאות האפשריות. כתוב בכל אחת מן המשבצות הריקות בטבלה את סכום המספרים שמתקבלים בהטלה.

 

ב. מהי ההסתברות שסכום המספרים הוא 2?
ג. מהי ההסתברות שסכום המספרים קטן מ- 4?
ד. מהי ההסתברות שסכום המספרים הוא זוגי? נמק.

פתרון

א. טבלת סכום המספרים האפשריים המתקבלים בהטלת שתי קוביות: (מסומנים בצבע כחול)

טבלת סכום המספרים המתקבלים בהטלה (מסומנים בצבע כחול)

ב. ההסתברות שסכום המספרים המתקבלים בהטלה היא 2:.
בטבלה 36 תוצאות אפשריות של הטלה בהסתברות זהה. מספר התוצאות 2 הוא אחד.
לכן ההסתברות לתוצאה 2 הוא 1/36.

ג. ההסתברות שסכום המספרים קטן מ- 4
ההסתברות שסכום המספרים קטן מ- 4, היא ההסתברות שסכום המספרים היא 2 או 3. ההסתברות לתוצאה 2 היא 1/36 כפי שחושב בסעיף א.
ההסתברות לתוצאה 3 היא 2/36 מאחר והתוצאה 3 מופיעה פעמיים מתוך 36 תוצאות אפשריות.
לכן הסתברות שסכום המספרים היא 2 או 3 היא: 1/36 +2/36 = 3/36 = 1/12.
 ההסתברות שסכום המספרים קטן מ- 4 היא 1/12.

ד. ההסתברות שסכום המספרים הוא זוגי
ההסתברות שסכום המספרים הוא זוגי שווה ל- 1/2 מאחר וחצי מתוצאות האפשריות המתקבלות הוא זוגי וחצי הוא אי זוגי, וההסתברות לקבל כל תוצאה הוא שווה.

גובה במשולש שווה שוקיים, טריגונומטריה - מבגרות 3 יחידות לימוד מתמטיקה חורף 2020

מתוך שאלון בגרות 3 יחידות מתמטיקה חורף 2020 - שאלון ראשון שאלה 5 

שאלה

ABC הוא משולש שווה שוקיים (AB = AC).
AE הוא גובה במשולש ABC ( ראה איור).

נתון: AB =ס"מ 11 , BC = ס"מ 16.
א. חשב את גודל הזוית ABC.
ב. חשב את אורך הגובה AE.
ג. חשב את שטח המשולש AEC.

ABC משולש שווה שוקיים (AB = AC) ,  AE הוא גובה

פתרון

א. גודל הזוית ABC

הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים חוצה אותו לכן BE = CE ,
ולכן BE = BC / 2 = 16 / 2 = 8
BE = 8

זוית E ישרה לכן משולש ABE ישר זוית.

cos(∢ABC) =  BE / AB = 8 / 11

∢ABC = 43. 34°

ב.  אורך הגובה AE

ABE משולש ישר זוית ולכן על פי משפט פיתגורס:

AE² = AB²  - BE² 

AE² = 11²  - 8²  = 57

AE = √(57) = 7.55

AE = 7.55

ג. שטח המשולש AEC.

משולשים AEC, AEB חופפים מאחר ויש להם צלע משותפת AE, שניהם משולשים ישרי זוית מאחר ו- AE מאונך BC, וגם הצלעות BE = CE, כי אנך לבסיס במשולש שווה שוקיים חוצה אותו.
מכאן שטח משולש AEC שווה לשטח משולש ABE.

שטח משולש ABE:
AE = 7.55 - חישבנו בסעיף ב.
BE = 8 - חישבנו בסעיף א.
 

 שטח משולש ACE הוא 30.2 סמ"ר.

משוואת ישר במערכת צירים - מבגרות 3 יחידות מתמטיקה חורף 2020

מתוך שאלון בגרות 3 יחידות מתמטיקה חורף 2020 - שאלון ראשון שאלה 4

 שאלה

משולש ABC במערכת צירים

 

במשולש ABC הנקודה A נמצאת על ציר ה- y , והנקודה B נמצאת על ציר ה- x (ראה ציור).
משוואת הישר AB היא  y = -3x + 12 .

א. מצא את שיעורי הנקודות A, B.

שיפוע הישר BC הוא 0.75.
ב. מצא את משוואת הישר BC.

שיעור ה- x של הנקודה C הוא 8.
ג. מצא את שיעור y של הנקודה C.

פתרון

א. 
שיעורי נקודה A
נקודה A נמצאת על ציר y וגם על הישר AB, לכן היא מהווה חיתוך של הישר y = -3x + 12, והישר x= 0.
נציב ונקבל:
y = -3x +12 = -3ᐧ0 + 12 = 12
שיעור הנקודה A הוא (12 , 0).

שיעור נקודה B
נקודה B נמצאת על ציר x וגם על הישר AB, לכן היא מהווה חיתוך של הישר y = -3x + 12, והישר y=0.
נציב ונקבל:

y = -3x + 12

0 = -3x + 12

3x = 12

x = 4

שיעור הנקודה B הוא (0 , 4).

ב.
משוואת הישר נתונה בנוסחה: y = ax +b כאשר a הוא שיפוע הישר.
נתון כי שיפוע הישר (העובר דרך BC) הוא a = 0.75.
בנוסף הישר עובר דרך נקודה B (4, 0).
לכן מתקיים השוויון:

y_B = aᐧx_B + b

0 = 0.75ᐧ4  + b

b = -3

משוואת הישר העובר דרך BC: 
y = 0.75x - 3

ג.
נקודה C נמצאת על הישר BC ולכן מקיימת את המשוואה y = 0.75x -3.

y_c = 0.75ᐧ8 - 3

y_c = 3

שיעור y של הנקודה C הוא 3.

החוק השני של ניטון - כדור תלוי על חוט ונשען על קיר

שאלה

כדור אחיד מוצק במשקל  45.0 ק"ג בקוטר 32.0 ס"מ, נתמך על ידי קיר אנכי חלק וחוט דק בעל משקל זניח ואורך 30 ס"מ, כפי שמוצג באיור.

(א) צייר דיאגרמת גוף חופשי של הכדור ולהשתמש בה כדי למצוא את המתח בחוט.
(ב) חשב את הכוח שמפעיל הכדור על הקיר.

איור

פתרון

 

דיאגרמת גוף חופשי

 

m = 45 kg  - מסת הכדור

⍺ - זוית בין חוט מחובר לכדור, לאנך.

N - כוח תגובה שמפעיל הקיר על הכדור.

g = 3.8 m/sec^2 קבוע גרביטציה. 

T - מתיחות בחוט. 

 

דיאגרמת גוף חופשי

המתיחות בחוט T מורכבת משני רכיבים:

 Tᐧcos⍺ - רכיב בכיוון ציר אנכי.

 Tᐧsin⍺ - רכיב בכיוון ציר אופקי.

 

משוואות שיווי משקל:

 

 Tᐧcos⍺ = mg

Tᐧsin⍺ = N

הזוית ⍺ על פי הציור:

נציב במשוואות שיווי משקל:

 

משיכת שתי מסות על מישור משופע עם חיכוך

שאלה
אדם מוריד שתי תיבות, אחת על גבי השנייה, במורד הרמפה (מישור משופע) המוצגת באיור על ידי משיכת חבל המקביל לפני הרמפה. שתי התיבות נעות יחד בקביעות במהירות 15 ס"מ לשניה,  מקדם החיכוך הקינטי בין
הרמפה והתיבה התחתונה הוא 0.444, ומקדם החיכוך הסטטי בין שתי התיבות הוא 0.800.

אדם מוריד שתי תיבות, אחת על גבי השנייה, במורד רמפה

 

(א) איזה כוח צריך להפעיל כדי להוריד התיבות?
(ב) מה גודל והכיוון של כוח החיכוך בתיבה העליונה?


פתרון

נחשב את ערכי הנעלמים במשוואות (1)

החוק השני של ניוטון - כוח מושך שני ארגזים מחוברים בחבל על משטח עם חיכוך

שאלה

שני ארגזים מחוברים באמצעות חבל מונחים על משטח אופקי (ראה איור). לארגז A מסה m_A ולארגז B מסה m_B. 

 

 

מקדם החיכוך דינמי בין כל ארגז למשטח הוא _Kµ.

הארגזים נמשכים ימינה על ידי כוח אופקי .

קבע באמצעות m_A, m_{B, K}µ  את:

    א. גודל הכוח .

     ב. המתיחות בחבל  Tהמחבר את הארגזים.

פתרון

החוק השני של ניוטון - מסות תלויות על חבלים מחוברים לגלגלות

שאלה

לכל אחד מהבלוקים התלויים באיור משקל w. הגלגלות הן ללא חיכוך והחבלים בעלי משקל זניח.
חשב את המתח T כפונקציה של המשקל w לכל אחד מהסעיפים.
שרטט דיאגרמת גוף חופשי לכל אחד מהסעיפים.

פתרון
המתיחות בחבל בכל אחד מהמקרים היא T=w. הסיבה לכך כי החבל בכל אחד מהמקרים מושך את המסה   w ומחזיק אותה בשיווי משקל.

להלן דיאגרמות גוף חופשי:

החוק השני של ניוטון - חישוב הכוח הפועל על מסה שנתונה העתקתה כפונקציה של הזמן

שאלה

גוף בעל מסה m נע לאורך ציר x.

מיקום הגוף כפונקציה של הזמן נתונה ע"י הפונקציה:

x(t) = Aᐧt - Bᐧt³
 
 כאשר A ו- B הם קבועים.

מצא את הכוח הפועל על הגוף כפונקציה של הזמן.



פתרון

 תאוצת גוף שמיקומו נתונה על ידי העתקה שלו היא הנגזרת השניה של ההעתקה.

כלומר התאוצה a(t) של הגוף נתונה על ידי:

a(t) = d²x(t) / dt² = dv(t) / dt

לכן:

x(t) = Aᐧt - Bᐧt³

v(t) = dx(t) / dt = A - 3ᐧBᐧt²

a(t) = dv(t) / dt = -6ᐧBᐧt

v(t) היא מהירות הגוף כפונקציה של הזמן.

תאוצת הגוף נתונה במשוואה: a(t) = -6Bt

לכן הכוח המופעל על הגוף (מסה) הוא:

F(t) = mᐧa(t) = -6ᐧmᐧBᐧt

החוק השני של ניוטון - כוח משתנה כפונקציה של הזמן מופעל על גוף

שאלה

 

 גוף כלשהו בעל מסה m נמצא במצב מנוחה בשיווי משקל בראשית הצירים.

בזמן  t = 0  מופעל על הגוף כוח  F(t) שרכיביו: (ההדגשה של האות F מציינת כי מדובר בוקטור)

Fx(t) = K1 +K2y

 Fy(t) = K3 * t

כאשר K1 , K2 , K3 הם קבועים.

מצא את המיקום של הגוף בזמן r(t) ואת מהירות הגוף בזמן v(t).

 

 

החוק השני של ניטון - כוח מושך שתי תיבות וחבל מתוח ביניהן

שאלה

שתי תיבות, A ו- B, מחוברות בקצה לחבל אנכי בעל משקל זניח כפי שמוצג באיור.  כוח F=60 ניוטון, מושך את תיבה A  כלפי מעלה.

 

 

החל ממצב מנוחה, תיבה B יורדת 12.0 מ' בתוך 4.00 שניות. המתח של החבל המחבר בין שתי התיבות הוא 36.0 ניוטון.
א. מה המסה של תיבה B?
ב. מה מסת תיבה A?
הנח כי התיבות נעות בתנועה שוות תאוצה.

פתרון

א. מציאת מס, תיבה B

נשרטט דיאגרמת גוף חופשי של כל אחת מהמסות.

מסה B:

דיאגרמת גוף חופשי מסה B

משוואת התנועה של מסה :

m_Bᐧg - T = m_Bᐧa

ניתן למצוא את התאוצה a על פי נתוני השאלה בשימוש במשוואות קינמטיקה.

על פי נתוני השאלה המסה B נעה ממצב מנוחה מרחק 12 מטר ב- 4 שניות. 

נציב ב: x = 1/2aᐧt²

ונקבל: 

12 = 1.2a*4²

a = 1.5 m/s²

 נציב את התאוצה a במשוואת התנועה של המסה לעיל:

m_Bᐧg - T = m_Bᐧa

m_Bᐧ9.8 - 36 = m_B*1.5

m_B = 4.337 kg

ב. מסת תיבה A

דיאגרמת גוף חופשי מסה A

דיאגרמת גוף חופשי מסה A

משוואת הכוחות מסה A:

m_Aᐧg + T - F = m_Aᐧa

נציב נתונים ונקבל:

m_Aᐧ9.8 + 36 - 60 = m_Aᐧ1.5

m_Aᐧ 8.3  = 24

  m_A =  2.89 kg