שאלה
נתונה סדרה מקיימת את כלל הנסיגה: an+1 = 6n - 1 - an , a1 = kא. 1) הבע בעזרת k את האיברים a2 , a3 , a4 , a5 .
2) הוכח כי לכל n טבעי, הסדרות . . . . a1 , a3 , a5 , a7, a9 , a11 ו- . . . . a2 , a4, a6 , a8 , a10
הן סדרות חשבוניות.
3) מצא את הערך של k עבורו גם הסדרה . . . . a1 , a2 , a3 , a4 , a5, a6 היא סדרה חשבונית.
ב. בסדרה זו ישנם 4n - 1 איברים. סכום 2n האיברים האחרונים בסדרה גדול ב- 1140 מסכום 2n האיברים הראשונים בסדרה.
1) מצא את מספר איברי הסדרה.
2) חשב את סכום האיברים שנמצאים במקומות האי זוגיים בסדרה.
פתרון
נתונה סדרה מוגדרת בצורת נסיגה:
an+1 = 6n - 1 - an
א.(1) חמשת האיברים הראשונים בסדרה
a1 = k
עבור n = 1
a2 = 6 ᐧ 1 - 1 - a1 = 5 - k
עבור n = 2
(2) הסדרות במקומות הזוגיים או האי זוגיים הן חשבוניות.
נוכיח כי הפרש בין 2 איברים עוקבים במיקום הפרש שניים הוא קבוע, כלומר:
an+2 - an = d
an+1 = 6n - 1 - an
an+2 = 6(n+1) - 1 - an+1
an+2 - an = [6(n+1) - 1 - an+1] - an = [6(n+1) - 1 - (6n - 1 - an)] - an
ניתן לראות כי הפרש בין 2 איברים בסדרה נמצאים בהפרש מיקום 2 הוא 6. לכן הסדרות במקומות הזוגיים או האי זוגיים הן חשבוניות שהפרשן 6.
(3) הערך של k שעבורו הסדרה חשבונית
מאחר שהפרש הסדרות הזוית והאי זוית הוא 6. הפרש הסדרה עצמה צריך להיות 3 כדי שתהה חשבונית.
נבדוק ערך של kעבור איברים 1,2:
a2 - a1 = (5-k) - k = 3
5 - 2k = 3
2k = 2
k = 1
עבור k = 1 הסדרה חשבונית שאיבריה:
1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16....
ב. (1) מספר איברי הסדרה
בסדרה 4n - 1 איברים, שזהו מספר אי זוגי. לכן האיבר האמצעי בסדרה הוא במיקום 2n.
סכום 2n האיברים הראשונים:
a1 = 1
d = 3
S2n = 2n(2a1 + d(2n - 1)) / 2 = n(2 + 3(2n-1)) = n(2 + 6n -3) = n(6n - 1) = 6n2 - n
סכום 2n האיברים האחרונים:
a1 = a2n = a1 + d(2n - 1) = 1 + 3(2n - 1) = 1 + (6n - 3) = 6n - 2
d = 3