שאלה
רבים מתושבי ישראל חלו בחורף בשפעת. בסקר שנערך בקרב קבוצה גדולה של תושבים בוגרים בחורף האחרון, נמצא כי 40% מבין הנבדקים שחלו היו נשים.מספר הנבדקים בסקר שלא חלו בשפעת גדול פי k ממספר הנשים שחלו בשפעת.
א. בטא באמצעות k את ההסתברות שנבדק (גבר או אישה) שנבחר באקראי חלה בשפעת.
ב. ידוע שהמאורעות ״נבחרה אישה״ ו- ״נבחר נבדק (גבר או אישה) שחלה בשפעת״ הם מאורעות בלתי תלויים. חשב את ההסתברות שנבדק שנבחר באקראי הנו גבר.
פתרון
נניח נבדקו סך הכל n אנשים. ומספר הנשים שנדבקו בשפעת הוא w.
מאחר ו- 40% מבין הנבדקים שחלו בשפעת היו נשים, מספר סך הכל שנדבקו בשפעת גברים ונשים הוא :
100 / 40 * w = 2.5w
מספר הנבדקים שלא חלו בשפעת הוא:
k * w
מספר סך הכל הנבדקים, אלו שחלו בשפעת ואלו שלא הוא :
n = kw + 2.5w = w(k + 2.5)
א. נבחר באקראי אדם. ההסתברות שהוא חולה בשפעת הוא סך הכל הנדבקים לחלק לסך הכל הנבדקים, כלומר:
P(B) = 2.5w / [w(k + 2.5)] = 2.5 / (k + 2.5)
ב. נדרש לחשב את ההסתברות שנבדק שנבחר באקראי הוא גבר.
נסמן:
A - מאורע נבחרה אישה
B - נבחר חולה בשפעת
Ȧ - מאורע נבחר גבר.
נדרש לחשב את P(Ȧ).
ידוע ש- 40% מהנבדקים שחלו בשפעת הן נשים כלומר :
P(A/B) = 40% = 0.4
מאחר ש A ו- B הם מאורעות בלתי תלויים אזי:
P(A/B) = P(A)
כלומר
P(A)= 0.4
P(Ã) = 1 - P(A) = 0.6
ההסתברות שאדם שנבחר באקראי הוא גבר היא 0.6.
ג.
(1) חישוב k
2/13 מבין הנבדקים שחלו בשפעת היו נשים:
P(A∩B) = 2/13
נפתח
P(A∩B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 2.5 / (k + 2.5) = 2/13
0.4 * 2.5 / (k + 2.5) = 2/13
13 * 0.4 * 2.5 = 2k + 5
k = 4
לכן
p(B) = 2.5 / (k + 2.5) = 2.5 / (4 + 2.5) = 5 / 13
(2) בוחרים באקראי גבר, מה ההסתברות שהוא חולה בשפעת
מאחר ו- A ו- B בלתי תלויים אזי גם Ã ו- B הם בלתי תלויים:
ההסתברות שגבר חולה בשפעת:
P(Ã∩B) = P(Ã) * P(B) = 0.6 * 5/13 = 3 / 13
מאחר ו- A ו- B בלתי תלויים אזי גם Ã ו- Ḃ הם בלתי תלויים:
ההסתברות שגבר לא חולה בשפעת:
P(Ã∩Ḃ) = P(Ã) * P(Ḃ) = 0.6 * 10/13 = 6 / 13
סביר יותר שהגבר אינו חולה בשפעת.
ד.
ההסתברות שהנבחר הוא גבר שחלה בשפעת הוא 3/13 וההסתברות שנבחר הוא לא גבר שחלה בשפעת הוא 10/13.
לכן אם בוחרים 5 באקראי, ההסתברות שרובם גברים שחלו בשפעת