סכום מספר מרוכב והמשלים שלו

 הוכח כי סכום מספר מרוכב והמשלים שלו שווה לפעמיים החלק הממשי של אותו מספר כלומר:

         _
z + z = 2Re(z)

 

הוכחה:

המספר המרוכב z  ניתן להצגה בצורה אלגברית:  z = a + ib.

                                                     _                           _

המשלים של המספר המרוכב z, מסומן z , ומוגדר : z = a - ib

כאשר: 

a - החלק הממשי של המספר המרוכב z.

b - החלק המדומה של המספר המרוכב z.

      _

z + z = (a +ib) + (a - ib) = a + ib + a - ib = 2a = 2Re(z)

חוק החילוף (קומוטטיביות) בכפל מספרים מרוכבים

 נתון:

 שני מספרים מרוכבים z1 , z2.

הוכח: 

  z1 * z2 = z2 * z1  ( *  פעולת כפל)

הוכחה:

על פי הגדרת המספר המרוכב :

z1 = a1 + ib1

z2  = a2 + ib2

כאשר a1 , a2 , b1 , b2 ממשיים, ו- i שורש 1-.

z1 * z2 = (a1+ ib1) * (a2 + ib2) = (a2 + ib2) * (a1+ ib1) =  z2 * z1