פתרון שאלה 7 - בגרות מתמטיקה 4 יחידות קיץ 2016 - חקירת פונקציות

שאלה 7
 

נתונה הפונקציה  .


א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב. מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג. מצא את האסימפטוטות של גרף הפונקציה המאונכות לצירים.

ד. מצא את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה.

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ו. לפניך שלושה גרפים I , II , III.

איזה מן הגרפים מתאר את הנגזרת f'(x) ? נמק.


שלשה גרפים

פתרון שאלה 7



א. תחום ההגדרה של הפונקציה
נדרוש כי המכנה בפונקציה יהיה שונה מ- 0 משום שחלוקה באפס אינה מוגדרת. לכן תחום ההגדרה עבור x כל מספר פרט ל- 1.

ב. נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים


נקודת חיתוך עם ציר y כאשר x=0: 

נקודת חיתוך עם ציר y היא: (0,2)

נקודת חיתוך עם ציר x כאשר y=0


נקודת חיתוך עם ציר x היא: (2,0)

נסכם כי נקודות החיתוך עם הצירים הם: (0,2) , (2,0)
 
 
 ג. אסימפטוטות של
 
אסימפטוטה מאונכת לציר x
אסימפטוטה מאונכת לציר x בנקודה כלשהי נניח x = a תתקבל אם נשאיף את x ל- a, אזי הפונקציה f(x) תשאף לאינסוף. ניתן לראות שכאשר (x שואף ל- 1) x --> 1 הפונקציה f(x) שואפת לאינסוף. לכן יש אסימפטוטה מאונכת לציר x בנקודה x = 1, או המילים אחרות הישר x = 1 הוא אסימפטוטה.
 
אסימפטוטה מאונכת לציר y
אסימפטוטה מאונכת לציר y בנקודה כלשהי נניח y= b תתקבל אם נשאיף את x לאינסוף, אזי הפונקציה f(x) תשאף ל- b.
אם נשאיף את x לאינסוף אזי f(x) ישאף לאפס מאחר ובמונה המעלה של x היא 1 ובמכנה המעלה של x היא 2.
לכן הישר y = 0 הוא אסימפטוטה לפונקציה f(x) מאונכת לציר y.
 

גרף מהירות - פתרון שאלה 2 בגרות מתמטיקה 3 יחידות חורף תשפ"א 2021

  לצפייה / הורדת בגרות מתמטיקה 3 יחידות חורף  תשפ"א 2021, הקלק כאן

 

שאלה 2

הגרף שלפניך מתאר מהירות של רוכב אופניים בכל רגע בין השעה 8:00 לשעה 13:00 .

גרף מהירות רוכב האופניים
עיין בגרף וענה על הסעיפים א-ה שלפניך.

א. באיזו שעה הייתה מהירות הרוכב הגבוהה ביותר? מהי מהירות זו

ב . מאיזו שעה ועד איזו שעה היה הרוכב במנוחה?

ג . מה הייתה מהירות הרוכב בשעה 12:15 ?

ד. באילו פרקי זמן (בין איזו שעה לאיזו שעה) הייתה מהירות הרוכב במגמת עלייה?

ה. באילו שעות הייתה מהירות הרוכב 20 קמ"ש?

 

פתרון שאלה 2

א.מהירות הגבוהה של הרוכב

גרף המהירות מתאר את מהירות רוכב האופניים בזמן (בין השעות 8-13). השעה שבה מהירות הרוכב הייתה הגבוהה ביותר, היא הנקודה שבה הגרף הוא בערכו המקסימלי וזה כפי שניתן לראות בשעה 9:30. ערכה של מהירות זו ניתן לראות בגרף היא 30 קמ"ש.

ב . מאיזו שעה ועד איזו שעה היה הרוכב במנוחה?

תחום השעות בהן רוכב האופניים במנוחה
תחום השעות בהן רוכב האופניים במנוחה

הרוכב במנוחה או למעשה מהירות היא 0 יתבטא אשר גרף המהירות מתלכד עם ציר x. כפי שניתן לראות בגרף מהירות רוכב האופניים היא אפס (הרוכב במנוחה) בין השעות 11:00 ל- 12:00.

ג. כפי שניתן לראות בגרף בשעה 12:15 מהירות הרוכב הייתה 10 קמ"ש.

ד. תחום השעות בהן מהירות הרוכב במגמת עליה

תחום השעות בהן מהירות הרוכב במגמת עליה
תחום השעות בהן מהירות הרוכב במגמת עליה

מהירות הרוכב במגמת עליה מתבטאת בגרף כעליה של גרף המהירות עם הזמן.

 וזה קורה בתחום בין השעה 8:00  ל- 9:30 ,  ובין השעה 12:00 ל- 13:00.

ה. השעות בהן הייתה מהירות הרוכב 20 קמ"ש

כדי לראות בגרף באילו שעות הייתה מהירות הרוכב 20 קמ"ש, נמתח קו ישר אופקי היוצא מציר המהירות (ציר y) בנקודה 20 קמ"ש ונבדוק באילו שעות הוא חותך את גרף המהירות. זה קורה בשעות: 9:00, 10:00, 12:30.

השעות בהן מהירות הרוכב הייתה 20 קמ"ש
השעות בהן מהירות הרוכב הייתה 20 קמ"ש