נתונה הפונקציה: a > 0 , f(x) = x / (2√x - a) .
א. הביעו את תשובותיכם באמצעות a לפי הצורך:
1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.
2) מצאו אסימפטוטות לגרף הפונקציה המאונכות לצירים, אם יש כאלה.
3) מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה .
3) מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה .
4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
ב. נתונה הפונקציה k > 0 , g(x) = | f(x) | - k . הנקודה (0.5- , 16) היא נקודת המינימום של הפונקציה g(x) .
ב. נתונה הפונקציה k > 0 , g(x) = | f(x) | - k . הנקודה (0.5- , 16) היא נקודת המינימום של הפונקציה g(x) .
1) מצאו את a ואת k.
2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x) .
3) הראו שגרף הפונקציה g(x) חותך את ציר ה- x בנקודות (0 , 36) , (0 , 9) , (0 , 2.838).
ג. נתונה גם הפונקציה
ג. נתונה גם הפונקציה
x
s(x) = ∫ g(t)dt
5
המוגדרת בתחום 5 < x.
מצאו את שיעורי ה- x של נקודות הקיצון של הפונקציה s(x) וקבעו את סוג הקיצון.
פתרון
א. 1) תחום הגדרה של הפונקציה f(x).
ניתן לראות כי יש שני הגבלות לתחומי הגדרה לפונקציה f(x) = x / (2√x - a) , a > 0.
הגבלה ראשונה היא הביטוי x√ במכנה הפונקציה המחייב : x ≥ 0 , כי שורש מספר שלילי לא מוגדר.
הגבלה שניה היא מכנה הפונקציה שונה מאפס:
2√x - a ≠ 0
2√x ≠ a
√x ≠ a / 2
x ≠ a² / 4
לפנינו 2 הגבלות לתחום ההגדרה של f(x) :
x ≥ 0 , x ≠ a² / 4, לכן תחום ההגדרה של f(x) הוא:
{ x | 0 ≤ x ≤ a² / 4 , x ≥ a² / 4}
א. 2) מציאת אסימפטוטות של f(x)
אסימפטוטה של פונקציה (ממשית) היא קו ישר המתקרב לגרף הפונקציה באופן כזה שהמרחק ביניהם שואף לאפס כאשר מתרחקים מראשית הצירים לאינסוף.
האסימפטוטה היחידה הנוצרת היא כאשר המכנה 2√x - a שואף ל- 0. נוצרת אסימפטוטה אנכית:
2√x - a = 0
√x = a / 2
x = a² / 4
כאשר x שואף מהכיוון החיובי (צד ימין) ל-a² / 4נ( x+ --> a² / 4) , הפונקציה f(x) , תשאף לפלוס אינסוף.
כאשר x שואף מהכיוון השלילי (צד שמאל) ל-a² / 4נ( x- --> a² / 4) , הפונקציה f(x) , תשאף למינוס אינסוף.
בצורה גרפית f(x) באזור האסימיפטוטה תראה כך:
 |
| אסימפטוטה לפונקציה f(x) |
א. 3) נקודות קיצון של f(x) וסוגן.
למציאת נקודות קיצון של הפונקציה f(x) , גוזרים את הפונקציה ומשווים לאפס.
f(x) = x / (2√x - a)
f '(x) = [(2√x - a) - 2 ᐧ 1/2 ᐧ 1/√x ᐧ x] / (2√x - a)²
f '(x) = [(2√x - a) - x/√x ] / (2√x - a)² = 0
2√x - a - x/√x = 0
כופלים כל האגפים ב- x√ :
2x - a√x - x = 0
x - a√x = 0
√x ᐧ (√x -a) = 0
√x = 0, a
x = 0 , a²
f(0) = 0
f(a²) = a² / (2√a² - a) = a² / a = a
נקודות הקיצון של הפונקציה הן: (0 , 0) , (a² , a).
לפי הסקיצה בסעיף א.2) ניתן להסיק כי נקודת הקיצון (0 , 0) הנמצאת משמאל לאסימפטוטה היא נקודת מקסימום מאחר והפונקציה שואפת ל- ∞- בצד שמאל של האסימפטוטה.
באותו אופן ניתן להסיק כי נקודת הקיצון (a² , a) הנמצאת מימין לאסימפטוטה היא נקודת מינימום מאחר והפונקציה שואפת ל- ∞+ בצד ימין של האסימפטוטה.
לכן:
(0 , 0) - נקודת מקסימום.
(a² , a) - נקודת מינימום.
א.4) סקיצה של גרף הפונקציה f(x)
נתון :
(0 , 0) - נקודת מקסימום, נקודת חיתוך עם ראשית הצירים.
(a² , a) - נקודת מינימום. (0 > a)
x = a² / 4 - אסימפטוטה אנכית.
הסקיצה:
 |
| סקיצה של f(x) |
ב. 1, 2) חישוב a, k וסקיצה של הפונקציה g(x)
נתונה הפונקציה k > 0 , g(x) = | f(x) | - k . הנקודה (0.5- , 16) היא נקודת המינימום של הפונקציה g(x) .
הגרף של | f(x) | כולו מעל ציר x, מאחר וערך מוחלט מחזיר תמיד ערך חיובי. לכן הגרף של | f(x) | זהה לגרף של f(x) בחלקים חיוביים, ומוכפל ב- (1-) בחלקים שלילים של f(x).
לקבלת הגרף של g(x) = | f(x) | - k , k > 0 , מסיטים הגרף מרחק k לכיוון שלילי של ציר y.
לכן הגרף של g(x) נראה כך:
נקודת המינימום של g(x) היא: (a² , a - k) .
הנקודה (0.5- , 16) היא נקודת המינימום של הפונקציה g(x) כלומר:
(a² , a - k) = (16, -0.5)
a² = 16
a - k = -0.5
מאחר ו- 0 < a הפתרון הוא :
a = 4
4 - k = -0.5
k = 4.5
ב. 3) נקודות חיתוך גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה- x
נדרש להראות שגרף הפונקציה g(x) חותך את ציר ה- x בנקודות (0 , 36) , (0 , 9) , (0 , 2.838).
הפונקציה g(x) היא:
g(x) = | f(x) | - k
f(x) = x / (2√x - a)
a = 4
k = 4.5
g(x) = | x / (2√x - 4) | - 4.5
נבדוק כל אחת מנקודות חיתוך עם הציר x:
בדיקת נקודה (0 , 36) :
g(36) = | 36 / (2√36 - 4)| - 4.5 = | 36 / (12 - 4)| - 4.5 = | 36 / 8 - 4.5 | = 4.5 - 4.5 = 0
בדיקת נקודה (0 , )9
g(9) = | 9 / (2√9 - 4)| - 4.5 = | 9 / (6 - 4) | - 4.5 = | 9 / 2 - 4.5 | = 4.5 - 4.5 = 0
בדיקת נקודה (0 , 2.838)
g(2.838) = | 2.838 / (2√2.838 - 4)| - 4.5 = | 2.838 / (3.37 - 4)| - 4.5 = | 2.838 / (-0.63)| - 4.5 =
4.5 - 4.5 = 0
ג. שיעורי ה- x של נקודות הקיצון של הפונקציה s(x) וסוגן.
נתונה גם הפונקציה
x
s(x) = ∫ g(t)dt
5
המוגדרת בתחום 5 < x.
נגזרת הפונקציה s(x) היא g(x), לכן ה- x של נקודות הקיצון שלs(x) הם כאשרg(x) שווה לאפס. נקודות אלו נתונות לנו בסעיף ב. 3). עבור התחום שבו 5 < x הנקודות הן: x = 36, 9.
לבדיקת סוג נקודת הקיצון של s(x) נתבונן בכל נקודה בפונקציית הנגזרת g(x).
בנקודה x = 9 פונקציית הנגזרת g(x) יורדת. זה אומר מעבר משיפוע חיובי לשלילי בפונקציה s(x) ולכן זוהי נקודת מקסימום.
בנקודה x = 36 פונקציית הנגזרת g(x) עולה. זה אומר מעבר משיפוע שלילי לחיובי בפונקציה s(x) ולכן זוהי נקודת מינימום.