שאלה פתורה בסטטיסטיקה והסתברות - מתוך בגרות מתמטיקה 3 יחידות 2018

מתוך מבחן בגרות במתמטיקה 3 יחידות קיץ 2018 

שאלה 6
בכיתה מסוימת נערך מבחן בתנ"ך. כל תלמידי הכיתה נבחנו בו. לפניך דיאגרמת מקלות המתארת את התפלגות הציונים במבחן.

א. כמה תלמידים יש בכיתה?
ב. חשב את ממצע הציונים במבחן.
ג. מה חציון הציונים במבחן? נמק.
ד. מה היה הציון השכיח במבחן? נמק.

בוחרים באקראי תלמיד מן הכיתה.
ה. מהי ההסתברות שציונו נמוך מן הממוצע?
ו. מהי ההסתברות שציונו נמוך מ- 6?


פתרון סעיף א
גובה מקל בדיאגרמה מציין את מספר התלמידים שקיבל ציון מסוים. לחישוב מספר התלמידים בכיתה נסכם את גבהי המקלות בדיאגרמה:
8+7+6+5+10+4 = 40

פתרון סעיף ב

ממוצע הציונים הוא סכום כל הציונים של התלמידים בכיתה לחלק למספר התלמידים בכיתה.
סכום כל הציונים של התלמידים בכיתה הוא סכום המכפלות של הציון במספר התלמידים שקיבלו אותו ציון.
לכן ממוצע הציונים A בכיתה הוא:



ממוצע הציונים בכיתה הוא 7.3.

פתרון סעיף ג - חציון

החציון הוא ערך (ציון) שחצי מערכי הקבוצה (תלמידים) מעליו וחצי מתחתיו. כפי שחושב בסעיף א בכיתה 40 תלמידים. נבדוק מהו הציון שחצי מהתלמידים מעל לציון זה וחצי מהתלמידים מתחתיו.
ניתן לראות שהחציון הוא הציון 6. חצי ממספר התלמידים (עשרים ) קיבלו ציון מעל 6 או שווה ל- 6, ועשרים תלמידים קיבלו ציון פחות מ- 6 או שווה ל-6 .

פתרון סעיף ד - ציון שכיח

הציון השכיח הוא ערך הציון בעל ההופעות הכי גבוה. ניתן לראות כי הציון השכיח הוא 9. המספר הכי גבוה של תלמידים קיבלו ציון 9, 10 תלמידים.

פתרון שאלה בפיסיקה זריקת כדור אנכית - מבגרות 5 יחידות 2018

מבחן בגרות פיסיקה מכניקה 5 יחידות - קיץ 2018

שאלה 1

בעבודת חקר של תלמידי מגמת פיזיקה בבית ספר תיכון, החליטו התלמידים לבחון את מאפייני התנועה של גופים הנזרקים אנכית. לשם כך הם עלו על מגדל שגובהו H וזרקו באותו רגע שלושה כדורים זהים: B , A ו־ C.
כדור A נזרק כלפי מטה במהירות התחלתית שגודלה v0 , כדור B נזרק כלפי מעלה במהירות התחלתית שגודלה זהה לגודל המהירות ההתחלתית של כדור A , וכדור C שוחרר ממנוחה. שלושת הכדורים לא התנגשו במהלך תנועתם.
התלמידים קבעו את כיוון הציר האנכי החיובי כלפי מטה.
הם סרטטו גרף מהירות־זמן של אחד הכדורים מרגע זריקתו עד לסף פגיעתו בקרקע, כמתואר בתרשים שלפניך.

בסעיפים א-ד הנח כי כוח החיכוך בין הכדורים לאוויר ניתן להזנחה.
א. קבע אם הגרף מתאר את מהירותו של כדור A , כדור B או כדור C . נמק את קביעתך. ( 5 נקודות)
ב. חשב את גובה המגדל H . (חמש נקודות).
ג. חשב את המרחק האנכי בין מיקומו של כדור A לבין מיקומו של כדור B , בזמן  t = 2s (שש נקודות)

התלמידים הוסיפו לאותה מערכת צירים את הגרפים המתאימים לשני הכדורים האחרים.
ד. הסבר מהי המשמעות הפיזיקלית של כל אחד מן הערכים (1) ו- (3) שלפניך, וקבע לאֵילו מן הערכים האלה יש גדלים מספריים זהים לכל שלושת הגרפים.
( 1) שיפוע הגרף
( 2) נקודת חיתוך הגרף עם ציר המהירות
( 3) השטח הכלוא בין הגרף לציר הזמן
( 6 נקודות)
ה. בסעיף זה הנח שבין כל כדור לאוויר פעל כוח חיכוך שגודלו קבוע וקטן ממשקל הכדור. להזכירך, כל
הכדורים זהים.
קבע אם גודל המהירות של כדור A ברגע פגיעתו בקרקע קטן מגודל המהירות של כדור B ברגע פגיעתו בקרקע, גדול ממנו או שווה לו. נמק את קביעתך באמצעות שיקולי אנרגיה או שיקולי קינמטיקה.
( 3 נקודות)


פתרון סעיף א
הגרף מתאר את מהירותו של כדור B שנזרק מעלה. מהירותו ההתחלתית היא שלילית, כלומר זריקה מעלה בכיוון השלילי . (הכיוון החיובי של ציר התנועה שקבעות התלמידים הוא מעלה). ניתן גם לראות שבשלב מסוים מהירות הכדור הופכת לחיובית, כלומר תנועתו מטה עקב כוח הכובד.

פתרון סעיף ב
נחשב את גובה המגדל על פי תנועתו של כדור B. (המידות בשניות, מטר, ומטר לשניה)
t = 5  - משך זמן התנועה של כדור B מרגע זריקתו מעלה ועד רגע פגיעתו בקרקע.
v0 = -5 - מהירותו ההתחלתית של כדור B היא 5- מטר לשניה (על פי הגרף).
V5 = 45 - מהירותו כעבור 5 שניות ברגע פגיעתו של כדור B בקרקע הוא 45 מטר לשניה.

נחשב את תאוצת הכדור:


תאוצת כדור B היא 10 מטר לשניה בריבוע.

נחשב את גובה המגדל שהוא המרחק x שעבר הכדור B (העתקה):


גובה המגדל הוא 100 מטר.


סעיף ג
נחשב את המרחק שעבר כל אחד מהכדורים (העתקה) ואח"כ נחשב את ההפרש.

חישוב המרחק שעבר כדור A
 V0  = 5 - כדור A נזרק כלפי מטה (הכיוון החיובי) במהירות הזהה למהירות כדור B .
t = 2 - נתון
a = 10 - התאוצה חושבה בסעיף ב.


המרחק שעבר כדור A הוא 30 מטר.

חישוב המרחק שעבר כדור B
 V0  = -5 - כדור B נזרק כלפי מעלה (הכיוון השלילי)  .
t = 2 - נתון
a = 10 - התאוצה חושבה בסעיף ב.

 


המרחק שעבר כדור B הוא 10 מטר.

לפיכך המרחק האנכי בין כדור A לכדור B הוא 30-10 = 20 מטר

פתרון סעיף ד
(1) שיפוע הגרף הוא תאוצת הנפילה של הדורים שווה ערך ל- 10 מטר לשניה בריבוע.
(2) נקודת חיתוך הגרף עם ציר המהירות מציינת את המהירות בזמן t=0 כלומר המהירות ההתחלתית של הכדור וכיוונה בהתאם למיקום הנקודה (על הצד החיובי של ציר המהירות או השלילי).
(3) השטח הכלוא בין הגרף לציר הזמן מציין את המרחק (העתקה) שעבר הכדור בכיוון התנועה החיובי (כיוון מטה).

שאלה פתורה טריגונומטריה משולש שווה שוקיים - מתוך בגרות מתמטיקה 3 יחידות 2018

מתוך מבחן בגרות במתמטיקה 3 יחידות קיץ 2018 

שאלה 5

ABC הוא משולש שווה שוקיים (AB=AC).
BD הוא הגובה לשוק AC (ראה ציור).
נתון: 8 ס"מ = BC, גודל זווית הבסיס במשולש הוא 70 מעלות.

א. חשב את אורך הגובה BD.
ב. חשב את האורך של שוק המשולש ABC.
ג. חשב את שטח המשולש ABC.


פתרון סעיף א

נתבונן במשולש BCD. המשולש BCD הוא ישר זוית על פי הנתון. הזוית C הנה 70 מעלות על פי הנתון. היתר   BC = 8 על פי הנתון.

לכן BD הוא ניצב במשולש ישר זוית BCD . מכאן:



פתרון סעיף ב:

שוק המשולש שווה שוקיים ABC היא למשל AB המהווה יתר במשולש ישר זוית ABD.
הזוית A במשולש שווה שוקיים ABC הנה 40 מעלות משום שזוית הבסיס במש"ש ABC היא 70 מעלות וסכום הזויות במשולש ABC הוא 180 מעלות. כלומר סכום זוויות בסיס השוות ביניהן B ו- C הוא 140 מעלות ולכן הזוית A היא 40 מעלות.





פתרון סעיף ג

AB = AC  - נתון, משולש ABC שווה שוקיים
AB = 11.694 חושב לפי סעיף ב
מכאן AC = 11.694
BD הוא גובה לשוק AC - נתון, ראה ציור
BD = 7.517 - חושב בסעיף א
לכן שטח משולש ABC הוא מחצית מכפלת השוק AC בגובה BD (הגובה לשוק AC).

שאלה פתורה שתי משוואות בשני נעלמים - מתוך בגרות מתמטיקה 3 יחידות 2018

מתוך מבחן בגרות במתמטיקה 3 יחידות קיץ 2018

שאלה 4

נתונות משוואות שני ישרים: y = 3x - 3 ,  y = 2x + 2
הישרים חותכים זה את זה בנקודה M.
א. מצא את שיעורי הנקודה M.
ב. האם הישר שמשוואתו y = -3x + 15 עובר דרך הנקודה M? נמק.
ג. חשב את מרחק הנקודה M מראשית הצירים.


פתרון שאלה 4

א. הנקודה M היא נקודת חיתוך שני הישרים לכן שיעוריה הוא פתרון המשוואות:
y = 2x + 2
y = 3x - 3

נפתור המשוואות ונמצא שיעורי הנקודה M:


שיעורי הנקודה M הוא (12 , 5)

ב. נבדוק האם הישר שמשוואתו y = -3x + 15 עובר דרך הנקודה M
שיעורי הנקודה M הוא: x = 5 , y = 12
נציב x=5 בישר  y = -3x+15 ונקבל:
y= -3*5+15 = 0
עבור x=3 הישר  y=-3x+15 עובר בנקודה y=0
ואילו שיעור ה- y של הנקודה M עבור x=3 הוא y=12.
לכן הישר y=-3x+15 אינו עובר דרך הנקודה M.

ג. מרחק הנקודה M מראשית הצירים.
מרחק נקודה מראשית הצירים הוא שורש סכום ריבועי שיעורי הנקודה.
לכן המרחק d של הנקודה M (5, 12) מהראשית  הוא:
 


נשרטט פתרון התרגיל כולו על מערכת צירים

שאלה פתורה תרגיל גרף - מתוך בגרות מתמטיקה 3 יחידות 2018

מתוך מבחן בגרות במתמטיקה 3 יחידות קיץ 2018

שאלה 2

הגרף שלפניך מתאר כמות המים במכל שנפחו 1,000 ליטר במשך זמן מסוים.

 הסתמך על הגרף וענה על סעיפים א-ד.
א. כמה מים היו במכל לאחר 5 דקות?
ב. כמה מים הוזרמו למכל בין הדקה ה- 45 לדקה ה- 50?
ג.  (1) באילו זמנים היו במכל בדיוק 800 ליטרים של מים?
     (2) מאיזו דקה עד איזו דקה היה המכל מלא לגמרי?
 
ד. אחרי שהמכל היה מלא לגמרי רוקנו אותו כמתואר בגרף.
    מה היה הקצב שבו רוקנו את המכל (בליטרים לדקה)?


פתרון

א. על פי הגרף ניתן לראות כי בדקה ה- 5 על הציר האנכי כמות המים במכל המתאימה בציר האופקי היא: 200 ליטר.

בדקה ה- 5 על הציר האנכי כמות המים במיכל המתאימה בציר האופקי היא: 200 ליטר.

ב. על פי הגרף בדקה ה- 45 היו במכל 800 ליטר מים, ובדקה ה- 50 היו במכל 900 ליטר מים. מכאן כמות המים שהוזרמה למכל בין הדקה ה- 45 לדקה ה- 50 היא : 900-800 = 100 ליטר מים.

בדקה ה- 45 היו במיכל 800 ליטר מים, ובדקה ה- 50 היו במיכל 900 ליטר מים. מכאן כמות המים שהוזרמה למכל בין הדקה ה- 45 לדקה ה- 50 היא 100 ליטר

ג.1 במיכל היו 800 ליטר בדקות 25, 45, 70. ניתן לראות זאת על פי הקו (האדום) ההמקביל לציר x ועובר דרך הנקודה 800 ליטר על ציר y (ציר כמות המים במכל)

ג.2 המכל מלא לגמרי כאשר יש בו 1,000 ליטר. ניתן לראות שזה מתרחש בתחום דקות 55-65

המכל מלא לגמרי בתחום הזמן 55-65 דקות

ד. המכל מתחיל להתרוקן החל מדקה 65 עד דקה 90 שבה הוא ריק לגמרי. קצב הריקון קבוע וזאת ניתן לראות מהגרף בין הדקות 65-90 (קו ישר).
בדקה 65 יש במכל 1,000 ליטר.
בדקה 90 יש במכל 0 ליטר.
כלומר ב- 25 דקות התרוקנו 1,000 ליטר. לכן הקצב שבו רוקנו המכל הוא 40 ליטר לדקה.

קטע בגרף המתאר התרוקנות 1,000 ליטר במכל בתחום זמן 65 עד 90 דקות

שאלה פתורה סדרה חשבונית - מתוך בגרות מתמטיקה 3 יחידות 2018

מתוך מבחן בגרות במתמטיקה 3 יחידות קיץ 2018

שאלה 3

בסדרה חשבונית האיבר השני הוא 4 והאיבר הרביעי הוא 10.

א. מהו הפרש הסדרה? נמק
ב. מהו האיבר הראשון בסדרה? נמק
ג. חשב את סכום 19 האיברים הראשונים בסדרה.

פתרון סעיפים א, ב

פתרון:

נתון:
הסידרה חשבונית.
האיבר השני הוא 4, כלומר : a2 = 4
האיבר הרביעי הוא 10 לכן: a4 = 10

נסמן ב- d את הפרש הסידרה וב- a1 את האיבר הראשון.

בסידרה חשבונית האיבר ה- nי נתון בנוסחה:
 

נציב בנוסחה האיברים השני והרביעי ונקבל:
 


כלומר
a1 + d= 4
a1 + 3d = 10

קיבלנו 2 משוואות בתני נעלמים, נפתור:

 

 הפרש הסידרה הוא 3, והאיבר הראשון הוא 1


פתרון סעיף ג

נדרש למצוא סכום 19 המספרים הראשונים בסדרה החשבונית.
סכום n איברים ראשונים בסדרה חשבונית נתון ע"י הנוסחה:



כאשר a1 הוא האיבר הראשון בסדרה ו- d הוא הפרש הסדרה.
במקרה השאלה: a1 = 1 , d = 3
נציב בנוסחת סכום האיברים בסדרה חשבונית ונקבל:


סכום 19 האיברים הראשונית בסדרה הוא 532

בגרות מתמטיקה 3 יח' קיץ 2018 - שאלה 1 - אחוזים

מתוך מבחן בגרות במתמטיקה 3 יחידות קיץ 2018

שאלה 1 

לקראת סוף השנה הכריזה רשת חנויות בגדים על מבצע של 40% הנחה על כל הפריטים בחנות. מחירה של חולצה ירד ב- 64 שקלים.
א. מה היה מחיר החולצה לפני המבצע?
ב. נועה קנתה 3 חולצות לפני המבצע ו- 2 חולצות במחיר המבצע. כמה סך הכל שילמה נועה על כל החולצות שקנתה?

פתרון שאלה 1

א. מחיר חולצה לפני המבצע

נסמן ב- x את מחיר החולצה לפני המבצע.

מחיר החולצה לאחר 40% הנחה הוא: 

בנוסף נתון כי מחיר החולצה ירד ב- 64 שקלים. כלומר:  0.6x = x-64

נמצא את x:



מחיר החולצה לפני המבצע הוא 160 שקלים.

ב. כמה שילמה נועה על 3 חולצות לפני המבצע ו- 2 חולצות אחרי המבצע.

מחיר חולצה לפני המבצע הוא 160 שקלים.
מחיר חולצה לאחר המבצע הוא : 160-64 = 96 שקלים.

ולכן מחיר 3 חולצות לפני המבצע ו- 2 חולצות אחרי המבצע הוא: 

נועה שילמה 672 שקלים.