משולש ABE חסום במעגל שמרכזו M.
נתון : M(3, 1) , B(3, -4).
א. מצאו את שיעורי הקודקוד A .
המשך הצלע BE חותך את החלק החיובי של ציר ה־ x בנקודה C .
נתון: AB = AC.
ב. מצאו את שיעורי הנקודה C .
ג. מצאו את משוואת הישר AE .
דרך הנקודה M העבירו ישר המקביל לציר ה־ x וחותך את הצלע AE בנקודה D .
ד. חשבו את שטח המרובע MDEB.
- מרכז המעגל: M(3,1)
- נקודה על המעגל: B(3,-4)
- המשולש ABE חסום במעגל ו־AB הוא קוטר
- אם AB הוא קוטר, אז M הוא האמצע של AB, ולכן A סימטרית ל־B סביב M.
- חישובי מרחקים בעזרת נוסחת המרחק בין נקודות.
- שטח משולש = 1/2 × בסיס × גובה (בלי נוסחת השרוכים).
א) מציאת הנקודה A ומשוואת המעגל
כי AB הוא קוטר, M הוא האמצע. לכן A היא הסימטרית של B ביחס ל־M:
A = (2·3 − 3, 2·1 − (−4)) = (3, 6)
רדיוס המעגל: R = |MB| = √[(3−3)² + (1−(−4))²] = 5.
משוואת המעגל: (x − 3)² + (y − 1)² = 25.
ב) מציאת C על ציר ה־x כך ש־AC = AB
אורך AB = 10, לכן גם AC = 10. נסמן C = (x,0) ונפתור:
(x − 3)² + (0 − 6)² = 100 ⇒ (x − 3)² = 64 ⇒ x = 11
מכאן: C = (11, 0).
ג) מציאת E ומשוואת הישר AE
הישר דרך B(3,−4) ו־C(11,0):
שיפוע m = (0 − (−4)) / (11 − 3) = 4/8 = 1/2
y = (1/2)x − 11/2
חיתוך הישר הזה עם המעגל נותן את B ואת הנקודה השנייה על המעגל: E = (7, −2).
משוואת AE (דרך A(3,6) ו־E(7,−2)):
שיפוע = (−2 − 6) / (7 − 3) = −8/4 = −2 ⇒ y − 6 = −2(x − 3) ⇒ y = −2x + 12
ד) מציאת D ושטח המרובע MDEB (ללא נוסחת השרוכים)
הישר המקביל לציר ה־x העובר דרך C הוא פשוט y = 0. חיתוך עם AE:
0 = −2x + 12 ⇒ x = 6 ⇒ D = (6, 0)
שטח המרובע באמצעות הבדלי שטחי משולשים
נחשב: S(MDEB) = S(△AEB) − S(△ADM).
1) שטח △AEB: נבחר בסיס AB = 10 (קטע אנכי). הגובה מהנקודה E אל הישר AB (שהוא x = 3) הוא המרחק האופקי של E מהקו: |7 − 3| = 4.
S(△AEB) = 1/2 · 10 · 4 = 20
2) שטח △ADM: נבחר בסיס AM = 5 (גם אנכי). הגובה מהנקודה D אל הישר AM (שהוא x = 3) הוא המרחק האופקי של D מהקו: |6 − 3| = 3.
S(△ADM) = 1/2 · 5 · 3 = 7.5
ולכן:
S(MDEB) = 20 − 7.5 = 12.5 = 25/2
סיכום קצר
- A = (3, 6)
- C = (11, 0)
- E = (7, −2)
- D = (6, 0)
- ישר AE: y = −2x + 12
- שטח המרובע MDEB: 12.5 יחידות שטח
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה