בעיה בגאומטריה - מבגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2025

שאלה

נתון: מעגל שמרכזו O. המשולש ABC חסום במעגל כך ש-AC הוא קוטר במעגל. מן הנקודות B ו-C העבירו משיקים למעגל הנפגשים בנקודה F.

מעגל שמרכזו O. המשולש ABC חסום במעגל
  1. א. הוכיחו כי המרובע OCFB הוא דלתון.
  2. ב. הוכיחו כי ∠CAB = ∠COF
  3. ג. הוכיחו כי ΔAOB ~ ΔCFB.

נוסף: נתון כי שטח המשולש AOB גדול פי 4 משטח המשולש CFB. הנקודה E היא נקודת החיתוך של אלכסוני הדלתון OCFB. הוכיחו כי CB = OE.


פתרון

נתון: במעגל שמרכזו O המשולש ABC חסום כך ש‑AC הוא קוטר. מהנקודות B ו‑C נמתחו משיקים למעגל והם נפגשים בנקודה F. הנקודה E היא חיתוך האלכסונים של המרובע OCFB.

א. הוכיחו שהמרובע OCFB הוא דלתון

  1. במעגל: כל הרדיוסים שווים ⇒ OB = OC.
  2. שני משיקים היוצאים מנקודה חיצונית למעגל שווים ⇒ FB = FC.
  3. יש לנו שתי זוגות של צלעות סמוכות ושוות — זו בדיוק ההגדרה של דלתון ⇒ OCFB דלתון.
  4. בעקבות זאת: הקו OF הוא ציר סימטריה של הדלתון, מאונך ל‑CB וחוצה את הזוויות ב‑O וב‑F.

ב. הוכיחו ש‑ CAB = ∠COF∠

  1. הזווית ∠CAB היא זווית היקפית הנשענת על הקשת CB ⇒ ∠CAB = ½∠COB.
  2. ב‑דלתון, OF חוצה את ∠COB ⇒ ∠COF = ½∠COB.
  3. ולכן: ∠CAB = ∠COF.

ג. הוכיחו ש‑ΔAOB ~ ΔCFB (דמיון משולשים)

  1. כיוון ש‑AC קוטר ⇒ ∠ABC = 90°. בנוסף רדיוס למשיק מאונך למשיק ⇒ BO ⟂ BF.
  2. לכן הזוויות ב‑B שוות: ∠ABO = ∠CBF (זוויות בין ישרים מאונכים).
  3. הזווית בין המשיקים CF ו‑BF שווה לזווית המרכזית המתאימה ⇒ ∠CFB = ∠COB.
  4. ומצד שני: ∠AOB משלימה ל‑180° את ∠COB. לכן מתקבל זוג נוסף של זוויות שוות.
  5. שני זוגות זוויות שוות ⇒ ΔAOB ~ ΔCFB.

ד. נתון: שטח ΔAOB גדול פי 4 משטח ΔCFB. הוכיחו: OE = CB

  1. בדמיון: יחס הדמיון יסומן k. יחס השטחים הוא k². מהנתון: k² = 4 ⇒ k = 2.
  2. מכאן מתקבל AB = 2·CB.
  3. נסמן α = ∠AOB. אז ∠COB = 180° − α.
  4. נוסחת מיתר במעגל (לא חובה לדעת בעל‑פה, אך מועילה):
    AB = 2R·sin(α/2),   CB = 2R·cos(α/2).
  5. מהיחס AB = 2·CB נקבל tan(α/2) = 2.
  6. המרחק מהמרכז אל המיתר CB הוא OE, והוא שווה R·sin(α/2) (כי OE הוא גובה למשולש המרכזי על המיתר).
  7. לעומת זאת CB = 2R·cos(α/2). מן הזהויות שמתקבלות (כאשר tan(α/2)=2) מתקבל בדיוק: OE = CB.
רעיון מרכזי: הדמיון נתן יחס אורכים 1:2, ומתוך זה הגענו לשוויון בין המרחק מהמרכז למיתר לבין אורך המיתר עצמו.
סיכום: הראינו שהמרובע דלתון, הזוויות ∠CAB ו‑∠COF שוות, המשולשים דומים, ולבסוף גם ש‑OE = CB כאשר נתון יחס השטחים.



אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה

הירשם ל- תגובות לפרסום (Atom)