בעיה בטריגונומטריה - מבגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2025

שאלה

נתון משולש חד זוויות ABC . הנקודה D נמצאת בתוך המשולש' כך ש : זוית BDC שווה 120 מעלות (ראו סרטוט).

נתון:  DB = 3 , DC = 4

א. מצאו את אורך הצלע BC .

נתון: רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC גדול פי 1.3

מרדיוס המעגל החוסם את המשולש DBC .

ב מצאו את גודל הזווית BAC 


נתון: AB = 7.5

ג. מצאו את אורך הצלע AC .

ד. חשבו את שטח המרובע BACD .

פתרון:

במשולש ABC נמצאת נקודה D כך ש-∠BDC = 120°.
DB = 3, DC = 4.

טיפ: כשיש לנו שתי צלעות וזווית ביניהן – נוח להשתמש בכלל הקוסינוסים.

א. מוצאים את BC

נחשב לפי כלל הקוסינוסים במשולש DBC:

BC² = DB² + DC² − 2·DB·DC·cos(120°)

BC² = 3² + 4² − 2·3·4·cos(120°) = 9 + 16 + 12 = 37

BC = √37 ≈ 6.0828

תשובה: BC = √37 (בערך 6.0828).

ב. מוצאים את הזווית A (= ∠BAC)

נתון שרדיוס המעגל החוסם של המשולש הגדול גדול פי 1.3 מהקטן. נוסחת הרדיוס: R = a / (2·sin(α)).

sin A = sin(120°) / 1.3 = (√3/2)/1.3 = 5√3/13 ≈ 0.6662

 

A ≈ 41.7724°

תשובה: ∠A ≈ 41.7724°.

ג. נתון AB = 7.5. מוצאים את AC

נחזור לכלל הקוסינוסים במשולש ABC:

BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos A

פותרים עבור AC (מציבים את הערכים):

37 = 7.5² + AC² − 2·7.5·AC·cos(41.7724°)

 

cos A ≈ 0.7458

 

AC ≈ 9.0629

תשובה: AC ≈ 9.0629.

ד. שטח המרובע BACD

זהו השטח של המשולש הגדול פחות השטח של המשולש הקטן:

S(BACD) = S(ABC) − S(DBC)

שטח ABC:

S = ½·AB·AC·sin A = ½·7.5·9.0629·0.6662 ≈ 22.6405

שטח DBC:

S = ½·3·4·sin(120°) ≈ 5.1962

S(BACD) ≈ 17.4444

תשובה: ≈ 17.4444 יחידות שטח.

אפשר לבדוק היגיון: השטח של המרובע חייב להיות קטן מהמשולש הגדול וגדול מאפס – וזה אכן קורה.