שאלה
בשכבת י"א בבית ספר מסוים לומדים בנים ובנות. לחלקם יש רישיון נהיגה ולשאר אין.
25% מתלמידי השכבה הם בנים שאין להם רישיון נהיגה.
ל- 1/3 מן הבנים בשכבה יש רישיון נהיגה.
א. מצאו את אחוז הבנים בשכבה.
ההסתברות לבחור באקראי מן השכבה בן שיש לו רישיון נהיגה שווה להסתברות לבחור באקראי מן השכבה בת שיש לה רישיון נהיגה.
ב. ידוע שנבחר באקראי תלמיד (בן או בת) מן השכבה שאין לו רישיון נהיגה. מהי ההסתברות שהתלמיד שנבחר הוא בן?
בשכבה זו יש 69 בנים.
ג. מצאו כמה תלמידים יש בשכבה סך הכול.
לשכבה הצטרפו 26 תלמידים חדשים (בנים ובנות).
בוחרים באקראי שני תלמידים מן השכבה בזה אחר זה (הוצאה ללא החזרה).
ההסתברות ששני התלמידים שנבחרו הם בנים היא 2/15.
ד. מצאו כמה בנים הצטרפו לשכבה.
פתרון
סימון המאורעות
נגדיר: \(A\) — "בן"; \(\bar A\) — "בת"; \(B\) — "יש רישיון"; \(\bar B\) — "אין רישיון".
נתונים: (1) \(P(A\cap \bar B)=0.25\). (2) אצל בנים: \(P(B\mid A)=\tfrac{1}{3}\) ולכן \(P(\bar B\mid A)=\tfrac{2}{3}\). (3) \(P(A\cap B)=P(\bar A\cap B)\). ידוע גם שיש 69 בנים.
א. מציאת שיעור הבנים \(P(A)\)
מהנתון (1) עם (2):
\[ P(A\cap \bar B)=P(A)\,P(\bar B\mid A)=P(A)\cdot \tfrac{2}{3}=0.25 \ \Rightarrow\ P(A)=\tfrac{3}{8}=37.5\% \]
בנוסף: \(P(A\cap B)=\tfrac{1}{8}\). לכן \(P(\bar A\cap B)=\tfrac{1}{8}\), ומכאן \(P(B)=\tfrac{1}{4}\).
ב. הסתברות מותנית \(P(A\mid \bar B)\)
\[ P(A\mid \bar B)=\frac{P(A\cap \bar B)}{P(\bar B)}=\frac{0.25}{1-0.25}=\tfrac{1}{3} \]
ג. מספר התלמידים הכולל
אם \(P(A)=\tfrac{3}{8}\) ויש 69 בנים:
\[ N=69/(3/8)=184 \]
ד. מספר הבנים שהצטרפו
לאחר הצטרפות 26 תלמידים: \(N'=210\). נסמן \(B'\) — מספר הבנים החדש.
\[ \frac{B'}{210}\cdot\frac{B'-1}{209}=\tfrac{2}{15} \]
מכאן \(B'=77\). קודם היו 69, לכן נוספו 8.
תשובות סופיות:
א) 37.5% ב) \(1/3\) ג) 184 ד) 8 בנים נוספו.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה