בעיה פתורה בגיאומטריה - שני גבהים לצלעות במשולש שווים

מפתרון הבעיה להלן ניתן ללמוד משפט בגאומטריה: אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות.
בעיה פתורה בגיאומטריה - שני גבהים לצלעות במשולש שווים
משולש ABC הגבהים BD ו- CE נפגשים בנקודה F

נתון

במשולש ABC הגבהים BD ו- CE נפגשים בנקודה F. נתון כי BD = CE הוכיחו כי:
א. המשולש ABC שווה שוקיים.
ב. FC = BF
ג. AD = AE

פתרון 

הוכחת סעיף א

 ב. נוכיח כי המשולשים EFB ו- DFC חופפים.

מחפיפת המשולשים בסעיף א נובע כי DC = BE . כמו כן הראנו כי הזוויות BDC ו- BEC שוות, וכן הזוויות EFB ו- DFC שוות (זוויות קודקודיות).
מכאן שגם הזוויות EBF ו- DCF שוות. לכן  המשולשים EFB ו- DFC חופפים על פי משפט חפיפה שני
מהחפיפה נובע כי BE = FC.

ג. בסעיף א הוכחנו כי AB = AC, ובסעיף ב' הוכחנו כי DC = BE. נחסיר אגפים ונקבל:

AD - DC = AC -DC

AE = AD
 

אין תגובות:

פרסום תגובה