סדרה חשבונית - נוסחה לאיבר הכללי

סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע:

a_n+1 - a_n = d

דוגמה: בסדרה 3, 5, 7, 9, 11, ... (מימין לשמאל) ההפרש הקבוע בין כל שני איברים עוקבים הוא 2.
סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים:

• האיבר הראשון בסדרה.
• ההפרש הקבוע בין שני איברים עוקבים בסדרה.
• מספר האיברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או אינסופי).

לפי מאפיינים אלה ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה.
  
נוסחה לאיבר הכללי

אם a₁ הוא האיבר הראשון, ו־ d הוא ההפרש, האיבר ה־ n נתון על ידי הנוסחה:

a_n = a₁ + dᐧ(n-1)

 דוגמאות:

דוגמא 1 - מציאת האיבר הכללי  a_n

נתונה הסדרה החשבונית: ... 8, 5, 2

מצא את האיבר ה- 11 בסדרה:  a₁₁ 

נמצא תחילה את הפרש הסדרה d, נשתמש בהפרש האיברים השני והראשון (אפשר להשתמש בהפרש כל שני איברים עוקבים) :

d = a_n- a_n-1 = 5 - 2 = 3

d = 3

ע"פ נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית:  a_n = a₁ + dᐧ(n-1)

עבור האיבר ה- 11 , נציב n = 11 , d = 3, a₁ = 2 ולכן:

a₁₁ = a₁ + 3ᐧ(11-1)

a₁₁ = 2 +3(11-1)

a₁₁ = 32

דוגמא 2 - מציאת האיבר הראשון בסדרה:

נתונה סדרה חשבונית שבה האיבר ה- 6 הוא:  a₆ = 223 והפרש הסדרה  d = -5 .

מצא את האיבר הראשון בסדרה:

ע"פ נוסחת האיבר הכללי:  a_n = a₁ + dᐧ(n - 1)

נחלץ את  a₁  

a₁ = a_n - dᐧ(n - 1)

נציב עבור n = 6:

a₁ = a₆ - (-5)ᐧ(6 - 1)

a₁ = 223 - (-5)ᐧ(6 - 1)

a₁ = 223 + 25

a₁ = 248

דוגמא 3 - מציאת הפרש הסדרה d

מצא הפרש סדרה חשבונית (d) שבה האיבר ה- 13 שווה 77 והאיבר הראשון הוא 5, 

נתון לנו כי a₁₃ = 77 ,  a₁ = 5 . מספר האיברים בסדרה הוא 13 .

ע"פ נוסחת האיבר הכללי:

נחלץ את d הפרש הסדרה:  a_n = a₁ + d ᐧ (n - 1)

נציב ונקבל את הפרש הסדרה d:

d = (a_n - a₁) / (n - 1) = (77 - 5) / (13 - 1) = 72 / 12 = 6

d = 6

קישורים:

הוכחת נוסחאות למציאת סכום סדרה חשבונית ודוגמא פתורה

תרגיל פתור סדרה חשבונית - מציאת הפרש סדרה ואיברה הראשון ע"פ קשרים בין איברים בה - תרגיל - בסדרה חשבונית האיבר השביעי גדול פי 4 מהאיבר השלישי וסכום האיברים השלישי והרביעי גדול ב – 1 מהאיבר החמישי. מצא את הפרש הסדרה החשבונית...