שאלה 5 - גיאומטריה - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד - דלתון חסום במלבן

שאלה 5 - גיאומטריה - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד

נתון: המרובעים ABCD ו- PLCD הם מלבנים. הנקודה K היא אמצע הצלע AB. הנקודה M היא אמצע הצלע DC.
O היא נקודת המפגש של אלכסוני המרובע KLMP 

א. הוכיחו: המרובע KLMP הוא דלתון.

ב. נתון גם  
הוכיחו: AKOP הוא ריבוע.

ג. נתון גם:   יחידות.
   
הנקודה P מחלקת את הצלע AD כך ש:  AP:PD = 1:3.
חשבו את שטח המלבן ABCD.


פתרון

א.  נוכיח שהמרובע KLMP הוא דלתון ע"י הוכחת שוויון הצלעות הסמוכות: KL = KP, MP = ML

נחפוף משולשים: KBL, KAP

1: AK=BK  - נתון - (הנקודה K היא אמצע הצלע AB)
2: - זויות המלבן ABCD שוות 90 מעלות ושוות ביניהן.

 CL = DP - צלעות נגדיות במלבן PLCD שוות
 AD = BC -  צלעות נגדיות במלבן ABCD שוות

3: BC - CL = AD - DP   - הפרשים בין גדלים שווים
4: BL = BC - CL - נתון
5: AP = AD - DP  - נתון

6:  AP = BL - נובע מ- 3,4,5

     - נובע מ- 1,2,6 - צ.ז.צ
7: מהחפיפה נובע: KL = KP

8:   בדרך דומה מוכיחים שיוויון צלעות ML = MP ע"י חפיפת משולשים  MCL, MDP

מהשיוויונות KL = KP ו- ML = MP נובע כי המרובע KLMP הוא דלתון. ( מרובע שיש לו שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות השוות זו לזו, הוא דלתון)

ב. נוכיח כי מרובע AKOP הוא ריבוע ע"י שיוויון בין צלעות סמוכות ושיוויון זויות המרובע ל- 90 מעלות
הוכחה
1: PO =OL - האלכסון הראשי בדלתון מאונך לאלכסון המשני וחוצה אותו  - דלתון KPML , אלכסון ראשי KM, אלכסון משני PL
2:      - האלכסון הראשי בדלתון מאונך לאלכסון המשני וחוצה אותו  - דלתון KPML , אלכסון ראשי KM, אלכסון משני PL

3: AK ||PO - שתי הצלעות מקבילות לצלע CD (מאחר ומרובעים ABCD, PLCD מלבנים)
4: באותה דרך מוכיחים KO||AP

מרובע  AKOP ריבוע - נובע מ- 1,2,3,4 - מרובע ששתי זוגות צלעות נגדיות מקבילות, זוג צלעות סמוכות שוות והזוית ביניהן ישרה  ריבוע עקב שוויון כל צלעותיו וזויותיו.