הגדרות:
נניח שני וקטורים u, v מעל Rn וסקלר k מעל Rn , כך
ש:
u = (u1, u2, u3,
…. un)
v = (v1, v2, v3,
…. vn)
אזי:
סכום וקטורים מוגדר:
u+v = (u1+v1 ,
u2 +v2, u3 + v3, …. un+vn)
מכפלת וקטור בסקלר
מוגדר:
kv = (ku1, ku2,
ku3, …. kun)
וקטור שלילי וחיסור
וקטורים מוגדרים:
-u = (-1)u
u-v = u+(-v)
משפט 1.1
הוכח כי לכל וקטורים u, v, w מעל Rn וכל סקלרים k' k מעל Rn מתקיים:
א.
(u+v)+w = u+(v+w)
ב.
u + 0 = u
ג.
u+(-u)=0
ד.
u+v=v+u
ה.
k(u+v)=ku+kv
ו.
(k+k')u=ku+k'u
ז.
(kk')u=k(k'u)
ח.
1u=u
משפט 1.1
(א)
לכל וקטורים u, v, w מעל Rn מתקיים:
(u+v)+w = u+(v+w)
הוכחה:
נניח:
u = (u1, u2, u3,
…. un)
v = (v1, v2, v3,
…. vn)
w = (w1, w2, w3,
…. wn)
אזי:
(u+v) + w = (u1+v1 ,
u2 +v2, u3 + v3, …. un+vn)
+ (w1, w2, w3,
…. wn) =
= (u1, u2, u3,
…. un) + (v1, v2, v3, …. vn)
+ (w1, w2, w3, …. wn) =
= (u1, u2, u3,
…. un) + (v1+w1
, v2 +w2, v3 + w3, …. vn+wn)
= u+(v+w)
משפט 1.1
(ב)
לכל וקטור u מעל Rn ווקטור האפס (0) : u +0 =u
הוכחה:
נניח:
u = (u1, u2, u3,
…. un)
וקטור האפס על פי
הגדרה:
0 = (0 , 0, ….. ) – n פעמים
אזי:
(u+0)
= (u1, u2 , u3 , …. un) + (0, 0, …. 0) =
= (u1+ 0 , u1+
0 , u2+ 0 ,…. un+ 0 )
= (u1, u2 , u3
, …. un) = u
משפט 1.1 (ג)
לכל וקטור u מעל Rn ווקטור מתקיים: u+(-u) = 0
הוכחה:
נניח:
u = (u1, u2, u3,
…. un)
על פי הגדרה:
-u = (-1)u
לכן:
u+(-u)= u + (-1)u = (u1, u2,
u3, …. un) + [(-1)(u1, u2, u3,
…. un)] =
(u1, u2, u3,
…. un) + [(-1)u1, (-1)u2, (-1)u3,
…. (-1)un] =
(u1, u2, u3,
…. un) + (-u1, -u2, -u3, …. -un)
=
(u1-u1, u2-u2,
u3-u3, …. un-un) = (0, 0 … 0) = 0
משפט 1.1
(ד)
לכל וקטורים u, v מעל Rn מתקיים:
u+v = v+u
הוכחה
נניח:
u = (u1, u2, u3,
…. un)
v = (v1, v2, v3,
…. vn)
u+v= (u1, u2, u3,
…. un) + (v1, v2, v3, …. vn)
=
= (u1+v1, u2+v2,
…., un+vn) = (v1+u1,v2+u2,
…., vn+un) =
= (v1, v2, v3,
…. vn) + (u1, u2, u3, …. un)
= v +u
משפט 1.1 (ה)
לכל וקטורים u, v מעל Rn וכל סקלר k מעל Rn מתקיים:
k(u+v) = kv +ku
הוכחה:
k(u+v) = k[(u1, u2,
u3, …. un) + (v1, v2, v3,
…. vn)]=
= k(u1+v1, u2+v2,
…., un+vn)=
=(ku1+kv1, ku2+kv2,
…., kun+kvn) =
= (ku1, ku2, ku3,
…. kun) + (kv1, kv2, kv3, …. kvn)
= ku+kv
משפט 1.1
(ו)
לכל וקטור u מעל Rn וכל סקלרים k' , k מעל Rn מתקיים:
(k + k')u = ku + k'u
הוכחה:
(k + k')u = (k+k') [(u1,
u2, u3, …. un) =
[u1(k + k'), u2(k
+ k'), u3(k + k'), …. +un(k + k')]=
(ku1+k'u1, ku2+k'u2,
ku3+k'u3,… +kun+k'u1n)=
(ku1 , ku2, ku3+,…
+kun) + (k'u1, k'u2,
k'u3+,… +k'un) = ku
+ k'u
משפט 1.1
(ז)
לכל וקטור u מעל Rn וכל סקלרים k' , k מעל Rn מתקיים:
(kk')u=k(k'u)
הוכחה:
(kk')u = (kk')(u1, u2,
u3, …. un)=
[u1(kk'), u2(kk'),
u3(kk'), …. un(kk')]=
(kk'u1, kk'u2, kk'u3,
…. kk'un) =
k(k'u1, k'u2, k'u3,
…. k'un) = k(k'u)
משפט 1.1 (ח)
לכל וקטור u מעל Rn מתקיים: 1u=u
הוכחה:
1u = 1(u1, u2,
u3, …. un) =
(1u1, 1u2, 1u3,
…. 1un) =
(u1, u2, u3,
…. un) = u
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה