מציאת פתרון לא טריביאלי למערכת משוואות לינארית הומוגנית בשיטת האלימינציה

שאלה

מצא לפחות פתרון לא טריביאלי אחד למערכות המשוואות הבאות:

סעיף א

נתונה המשוואה: 3x + y + z = 0

פתרון סעיף א

נבחר  x = y = 1.

נקבל:

3x + y + z = 0

3*1 + 1 + z = 0

4 + z = 0

z = -4

לכן , פתרון לא טריביאלי אפשרי למערכת הוא : x = y = 1 , z = 1 .

סעיף ב

מערכת המשוואות:

3x + y + z = 0

x + y + z = 0

פתרון סעיף ב

נפתור לפי שיטת האלימינציה. נפחית המשוואה השניה מהראשונה ונקבל:

3x + y + z = 0

-x  - y -  z = 0

2x = 0

x = 0

מכאן יוצא כי y + z = 0 . 

נבחר y = 3, z = -3.

לכן, פתרון לא טריביאלי אפשרי הוא :  y = 3, z = -3 , x = 0 .

ה. מצא פתרון לא טריביאלי אפשרי למערכת המשוואות:

(1) -x + 2y - 4z + w = 0 

(2)  x + 3y + z - w = 0

 נחבר המשוואות:

0 + 5y - 3z + 0 =0

5y = 3z

נבחר:

z = 1 ==>  y = 3z / 5 = 3 / 5 = 0.6

y = 0.6

נציב במשוואה (2)

x + 3y + z - w = 0

x + 3*0.6 + 1 - w = 0

x = w - 2.8

נבחר w = 3 ונקבל x = 0.2.

מצאנו פתרון לא טריביאלי למערכת:

z = 1 , y = 0.6 , x = 0.2 , w = 3