שאלה
נתונים הישרים שמשוואותיהם:
l1 : 4y - 3x - 20 = 0
l2 : x = -4
א. מצאו את המשוואות המתארות את המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצרות במרחקים שווים מן הישרים l1, ו- l2.
מעגל שמרכזו M משיק לישרים l1 , l2 , המעגל משיק לישר l1 בנקודה A שבה x = 4.
המרכז M נמצא ברביע הראשון ( ראה שרטוט).
ב. מצאו את שיעור הנקודה M.
הישר l2 הוא מדריך של פרבולה קנונית.
ג. האם הישר l1 משיק בנקודה A לפרבולה זו? נמקו את תשובתכם.
ד. מצאו את משוואת המעגל המשיק לפרבולה זו בשתי נקודות.
פתרון
א.
המקום הגאומטרי של הנקודות הנמצאות במרחקים שווים בין שני ישרים החוצים זה את זה הוא חוצי הזוויות של הישרים.
משוואת חוצה זווית בין שני ישרים נתונים במערכת צירים
נציב עבור המשוואות הנתונות בשאלה:
4y - 3x - 20 = 0
x + 4 = 0
עבור המשוואה הראשונה
A1 = -3
B1 = 4
C1 = -20
עבור המשוואה השניה
A2 = 1
B2 = 0
C2 = 4
משוואות חוצי הזווית
(4y - 3x - 20) / √(4² + 3²) = (x + 4)√(1² + 0²)
(4y - 3x - 20) / √(4² + 3²) = - (x + 4)√(1² + 0²)
(4y - 3x - 20) / 5 = (x + 4)
(4y - 3x - 20) / 5 = - (x + 4)
0.8y - 0.6x - 4 = x + 4
0.8y - 0.6x - 4 = -x - 4
0.8y - 1.6x - 8 = 0
0.8y + 0.4x = 0
y - 2x - 10 = 0
2y + x = 0
ב. מציאת שיעורי הנקודה M
מוצאים את שיעור הנקודה A על הישר L1.
מוצאים את משוואת MA המאונך לישר L1 בנקודה A .
שיעור הנקודה הוא חיתוך הישרים MA עם חוצה הזווית y - 2x - 10 = 0 (ששיפועו חיובי).
שיעור הנקודה A:
ה- x של נקודה A הוא 4 .
נקודה Aנמצאת על הישר L1:
4y - 3x - 20 = 0
לכן ה- y של נקודה A הוא 8.
(8, 4) A
משוואת MA המאונך לישר L1 בנקודה A
ג. האם הישר l1 משיק בנקודה A לפרבולה
נמצא את משוואת הפרבולה הקנונית שהישר x = - 4 מדריך שלה.
אם פרבולה קנונית שמשוואת המדריך שלה הוא x = -0.5p אז משוואת הפרבולה היא y² = 2px
במקרה שלנו p = 8 לכן משוואת הפרבולה הקנונית היא y² = 16x
לבדיקה האם הפרבולה משיקה לישר L1 בנקודה A נדרשים 2 תנאים:
- הפרבולה עוברת בנקודה A
- שיפוע הפרבולה בנקודה A שווה לשיפוע הישר L1 בנקודה A.
בדיקה האם הפרבולה עוברת בנקודה (8, 4) A :
נציב במשוואת הפרבולה x = 4
y² = 16x
y² = 16 ᐧ 4 = 64
y = 8
הפרבולה עוברת דרך נקודה (8, 4) A
בדיקת שיפוע הפרבולה בנקודה (8, 4) A :
לפנינו פונקציה סתומה, נגזור לפי x בשני האגפים:
y² = 16x
2yᐧ y' = 16
y' = 16 / (2y) = 16 / 16 = 1
בדיקת שיפוע הישר L1
4y - 3x - 20 = 0
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה