משולש שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות. צלעות אלו מכונות שוקיים. הצלע הנוספת היא בסיס. הקודקוד שבו שתי השוקיים נפגשות נקרא קודקוד המשולש, והזוית הנוצרת בין השוקיים נקראת זוית הקודקוד. שתי הזויות הנוספות הן זויות הבסיס.

לדוגמא במשולש שווה שוקיים להלן ABC שבו AB = BC נאמר כי:
A הוא קודקוד המשולש
זוית A היא זוית קודקוד (המשולש)
הצלעות AB, AC הן שוקיים
BC הוא בסיס
זויות B, C הן זויות הבסיס.
משולש שווה שוקיים ABC
משולש שווה שוקיים ABC

תכונות משולש שווה שוקיים
זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
אם במשולש חוצה זווית מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.

חוצה זוית הראש במשולש שווה שוקיים מחלק את המשולש לשני משולשים חופפיםבמשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס, וחוצה את הבסיס (תיכון).
מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.
במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.
אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות


משפט חפיפה ז.ז.צ - אם במשולש אחד שתי זויות וצלע שאינה כלואה ביניהן שווה לשתי זויות וצלע שאינה כלואה ביניהן במשולש שני אזי המשולשים חופפים

נתון

משולשים ABC, EFG


AC = EG


צריך להוכיח



הוכחה
נוכיח כי זויות C, G שוות ולאחר מכן נוכיח חפיפה באמצעות ז.צ.ז.

1:
  - נתון

2: - נובע מ- 1  - אם שתי זויות (זויות A, B) במשולש אחד (משולש ABC) שוות לשתי זויות (זויות E, F) במשולש השני (משולש EFG) אזי גם הזוית השלישית (זויות C, G) שווה בשני המשולשים

3: AC = EG - נתון

4: - נובע מ- 1,2,3 - לפי משפט חפיפה ז.צ.ז  אם בשני משולשים (ABC, EFG) שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים.

אם שתי זויות במשולש אחד שוות לשתי זויות במשולש השני אזי גם הזוית השלישית שווה בשני המשולשים

אם שתי זויות במשולש אחד שוות לשתי זויות במשולש השני אזי גם הזוית השלישית שווה בשני המשולשים
נתון
משולשים ABC, EFG


צריך להוכיח


הוכחה
1:
  - נתון

2: - נובע מ-1

3:
  - סכום זויות במשולש הוא 180 מעלות
4:    - נובע מ- 3

5: - הצבת 2 ב- 4

6: - נובע מ- 5

מ.ש.ל

הוכח: גבהים מתאימים במשולשים חופפים שווים

גבהים מתאימים במשולשים חופפים שווים
גבהים מתאימים במשולשים חופפים שווים
נתון:


גבהים CD ל- AB ו- TV ל- RS

צריך להוכיח
CD = TV

הוכחה

נוכיח ע"י חפיפת משולשים ACD ו- RTV

1: AC = RT - צלעות מתאימות במשולשים חופפים ( - נתון)

2: - זויות מתאימות   במשולשים חופפים ( - נתון)

3: - נתון (גבהים CD ל- AB ו- TV ל- RS)

4: - נובע מ: 1,2,3 לפי ז.ז.צ - אם במשולש אחד שתי זויות וצלע שאינה כלואה ביניהן שווה לשתי זויות וצלע שאינה כלואה ביניהן במשולש שני אזי המשולשים חופפים.

5: CD = TV - נובע מ- 4 - חלקים מתאימים שווים במשולשים חופפים.

מ.ש.ל

הוכחת נוסחת מספר אלכסונים במצולע בדרך האינדוקציה

הוכח בדרך האינדוקציה כי מספר האלכסונים D במצולע (קמור) בעל n צלעות הוא:


הוכחה:
נתחיל מבדיקת הנוסחה עבור מרובע שהוא מצולע בעל מספר צלעות הנמוך ביותר שיש לו אלכסונים.
למרובע 4 צלעות n = 4 ושני אלכסונים  D = 2
למרובע שני אלכסונים
למרובע שני אלכסונים

נבדוק:

הבדיקה הצליחה.

נניח שעבור n = k מספר האלכסונים במצולע הוא :


צריך להוכיח שעבור n = k+1 מספר האלכסונים הוא:


1

נדמיין מצולע בעל k צלעות ו- k קודקודים בעל D אלכסונים. אם נוסיף קודקוד נוסף נקבל מצולע חדש (בעל k+1 קודקודים, צלעות) עם אותם אלכסונים ועוד k-1 אלכסונים נוספים שנוצרו עקב הקודקוד החדש.

הקודקוד החדש יוצר k-2 אלכסונים חדשים עם קודקודים שאינם סמוכים לו ועוד אלכסון שנוצר מצלע שהפכה לאלכסון.

לדוגמא - הוספת קודקוד למרובע והפיכתו למחומש:
 המחומש להלן הוא כמו המרובע לעיל בתוספת קודקוד C. נוצרו 2 אלכסונים מחיבור C עם 2 קודקודים שאינם סמוכים ל- C ועוד אלכסון מצלע AB שהפכה לאלכסון סה"כ נוצרו 4-1 = 3 אלכסונים.
מחומש  - 5 אלכסונים

לכן מספר האלכסונים במצולע בעל k+1 קודקודים (צלעות):


וזה מה שנדרשנו להוכיח באינדוקציה ב- 1 לעיל.