הוכחת סכום סדרה הנדסית בדרך האינדוקציה

נתונה הסדרה ההנדסית שאיברה הראשון a1 ומנתה q.



הוכח בדרך האינדוקציה כי סכום n איברים ראשונית של הסדרה הוא:


הוכחה

נבדוק עבור n =1
הסכום ע"פ איברי הסדרה:
הסכום ע"פ הנוסחה:


הבדיקה תקינה הסכום הוא a1 ע"פ הנוסחה.

נבדוק עבור n=2

הסכום ע"פ איברי הסדרה:  
הסכום ע"פ הנוסחה:


הבדיקה תקינה הסכום הוא a1(q+1) ע"פ הנוסחה.

נניח שעבור n=k סכום הסדרה הוא :

נוכיח שעבור n=k+1  סכום הסדרה הוא



הוכחנו נכונות הנוסחה עבור n=1 , n=2 וגם הוכחנו את הנוסחה גם עבור n = k+1 בהנחה שמתקיימת עבור n=k לכן הנוסחה נכונה ע"פ שיטת האינדוקציה.

נגד שקול לנגדים המחוברים במקביל

נוכיח כי הקשר בין נגד שקול Re לשלשה נגדים R1, R2, R3 המחוברים במקביל הוא:



נתונים שלשה נגדים R1, R2, R3 מחוברים במקביל במעגל חשמלי למקור מתח V. הזרם במעגל הוא I.
נגדים מחוברים במקביל למקור מתח
נגדים מחוברים במקביל למקור מתח

 הנגד השקול Re

הנגד השקול Re הוא נגד שאם נחבר אותו בין ההידקים A, B במקום שלשת הנגדים R1, R2, R3 נקבל אותו מתח I במעגל.
כלומר V = I * Re
נגד שקול מחובר למקור מתח
נגד שקול מחובר למקור מתח

בחיבור מקבילי המתח על כל האלמנטים שווה, והזרם הכולל בהדקים הקיצוניים שווה לסכום הזרמים בכל אלמנט בנפרד. מתוך שיקולים אלה ניתן לחשב את האלמנט השקול עבור סוגים שונים של רכיבים.

דרך נגד R1 זורם זרם I1
דרך נגד R2 זורם זרם I2
דרך נגד R3 זורם זרם I3

הזרם במעגל דרך מקור המתח הוא I ומתקיים:
 I =I1 +I2 + I3
כלומר:


מצמצמים ב- V ומקבלים:


באופן דומה ניתן להוכיח גם עבור חיבור במקביל לכל מספר נגדים שנרצה.



שני נגדים מחוברים במקביל למקור מתחדוגמא:

במעגל חשמלי מחוברים שני נגדים בעלי התנגדות 8 אוהם, ו- 12 אוהם במקביל למקור מתח כמפורט בשרטוט להלן.

1. חשב את הזרם I1 הזורם דרך נגד 8 אוהם, והזרם I2 הזורם דרך נגד 12 אוהם.

2. מהו הזרם I של המעגל?

3. מהו גודלו של הנגד השקול Re?

פתרון

1. הנגדים מחוברים בחיבור מקבילי למקור המתח, והמתח על כל נגד שווה 5v . לכן:
הזרם I1 על נגד 8 אוהם:  I1 = 10/8 = 5/4 = 1.25. הזרם I1 שווה 1.25 אמפר.
הזרם I2 על נגד 12 אוהם: I2 = 10/12 = 5/6 = 0.8333 . הזרם I2 שווה 0.8333 אמפר.

2. הזרם במעגל I שווה לסכום הזרמים בנגדים: I = I1 + I2 = 1.25 + 0.8333 = 2.08333 . הזרם במעגל I הוא 2.08333 אמפר.

3. גודלו Re של הנגד השקול שווה לנגד שאם נשים אותו במעגל במקום שני הנגדים נקבל אותו זרם I במעגל, כלומר: Re = V/I = 10 / 2.08333 = 4.8 . הנגד השקול שווה 4.8 אוהם.

נגד שקול מחובר למקור מתח
נגד שקול מחובר למקור מתח
ניתן למצוא את גודל הנגד השקול ע"פ הנוסחה שמצאנו לעיל. אם R1 , R2 נגדים מחוברים במקביל אזי הנגד השקול Re :



גם בשיטה זאת הנגד השקול שווה 4.8 אוהם.

נגד שקול לנגדים המחוברים בטור

נוכיח כי נגד שקול לנגדים בטור המחוברים למקור מתח שווה לסכום גדלי שלשת הנגדים.
נתונים שלשה נגדים R1, R2, R3 מחוברים בטור במעגל חשמלי למקור מתח V. הזרם במעגל הוא I.

שלשה נגדים R1, R2, R3 מחוברים בטור במעגל חשמלי למקור מתח V. הזרם במעגל הוא I
שלשה נגדים R1, R2, R3 מחוברים בטור במעגל חשמלי למקור מתח V. הזרם במעגל הוא I

הנגד השקול Re

הנגד השקול Re הוא נגד שאם נחבר אותו בין ההידקים A, B במקום שלשת הנגדים R1, R2, R3 נקבל אותו מתח I במעגל.
כלומר V = I * Re

נגד שקול
נגד שקול

בחיבור רכיבים חשמליים בטור הזרם בכל הרכיבים שווה, והמתח הכולל בהדקים הקיצוניים שווה לסכום המתחים על כל רכיב בנפרד. מתוך שיקולים אלה ניתן לחשב את האלמנט השקול עבור סוגים שונים של רכיבים.

המתח על נגד R1 הוא V1 = I * R1
המתח על נגד R2 הוא V2 = I * R2
המתח על נגד R3 הוא V3 = I * R3

המתח הכולל V בין ההידקים A, B שווה לסכום שלש המתחים על הנגדים R1, R2, R3. לכן המתח V שווה:

V = V1 + V2 + V3

V = I*R1 + I*R2 + I*R3
V = I*(R1 +R2 + R3)

הנגד השקול Re מקיים: V = I * Re

לכן Re = R1 +R2 + R3

נוכל לומר כי הנגד השקול המחובר לשלשה נגד המחוברים למקור מתח בטור שווה לסכום גדלי שלשת הנגדים.

באופן דומה ניתן להוכיח גם עבור חיבור בטור כל מספר נגדים שנרצה.


דוגמא

שני נגדים מחוברים בטור
שני נגדים מחוברים בטור
נתון מעגל חשמלי שבו שני נגדים בעלי התנגדות 10 אוהם ו- 20 אוהם מחוברים למקור מתח של 60 וולט.

חשב:
1. הזרם במעגל
2. המתח החשמלי על כל אחד מהנגדים


 פתרון

1. בחיבור שני נגדים בטור הזרם החשמלי I העובר דרך הנגדים שווה, והמתח הכולל על הידי שני הנגדים שווה לסכום המתחים על כל נגד בנפרד.

המתח על נגד R1 הוא:  V1 = I * R1 = I *10
המתח על נגד R2 הוא:  V2 = I * R2 = I *20

סכום המתחים על שני הנגדים הוא V = 60v :
V1 + V2 = I*R1 + I*R2 = V
V = 10*I + 20*I = 30*I =60
I = 60/30 = 2

הזרם במעגל הוא 2A

2.

המתח על נגד R1 הוא:  V1 = I * R1 = I *10 = 2*10 = 20
המתח על נגד R1 הוא 10 וולט


המתח על נגד R2 הוא:  V1 = I * R2 = I *20 = 2*20 = 40
המתח על נגד R2 הוא 20 וולט.

 

חוק אוהם

חוק אוהם התגלה ב- 1836 ע"י גאורג אוהם ומציג הקשר בין מתח זרם והתנגדות..

אוהם גילה כי בחומרים מסוימים קיים יחס ישר ישר בין המתח לזרם עבור מוליך כלשהו. כלומר אם נגדיל את המתח על הידקי המוליך פי 2 יגדל הזרם החשמלי במוליך פי 2.

נסמן:
V - המתח על הנגד (נמדד ביחדות וולט)
I - הזרם בנגד (נמדד ביחידות אמפר A)
R - התנגדות הנגד (נמדד ביחידות אוהם)

ע"פ חוק אוהם: V = I * R


 דוגמא:

נתון נגד בעל התנגדות 5 אוהם. מחברים את הנגד למקור מתח של 10 וולט. מה גודל הזרם שיזרום במעגל?
מעגל חשמלי - נגד בעל התנגדות 5 אוהם מחובר למקור מתח 10 וולט
מעגל חשמלי - נגד בעל התנגדות 5 אוהם מחובר למקור מתח 10 וולט












פתרון:
ע"פ חוק אוהם הקשר בין הזרם, מתח והתנגדות במעגל הוא: V = I * R
לכן: 10 = 5 * I
I= 10/5 = 2
הזרם במעגל הוא 2 אמפר

גיאומטריה אנליטית - ישרים מאונכים במערכת צירים

 ישרים מאונכים במערכת צירים
 ישרים מאונכים במערכת צירים
נתון:
ישר L1 שיוצר זוית  עם מערכת צירים, וישר L2 מאונך לישר L1 ויוצר זוית עם מערכת הצירים.

צריך למצוא
יחס השיפועים בין שני הישרים.

פתרון
ע"פ הגדרת השיפוע, שיפוע ישר L1 הוא:
ושיפוע ישר L2 הוא:

לכן כדי למצוא את יחס שיפועי הישרים נמצא את הקשר בין    ל-

  - ניתן לראות מהסקיצה מאחר והישרים מאונכים.




לסיכום:
במערכת צירים שיפוע הישר המאונך לישר בעל שיפוע m הוא :


דוגמא:
הוכח כי הישר 2x + 3y =1 והישר 6x -4y -1 =0 מאונכים זה לזה.

פתרון:
נציג כל אחד מהישרים בצורה y = ax +b ונבדוק כי השיפועים a1 , a2 של הישרים מקיימים: a1 * a2 = -1

הישר 2x + 3y =1

שיפוע ישר ראשון הוא

הישר 6x -4y -1 =0


שיפוע הישר השני הוא 3/2

מכפלת שיפועי הישרים:

מכפלת שיפועי הישרים שווה 1- ולכן הישרים מאונכים זה לזה.

משיק למעגל - מונחים ומשפטים

ישר l משיק למעגל O בנקודת ההשקה A
ישר l משיק למעגל O בנקודת ההשקה A
ישר שיש לו רק נקודה אחת משותפת עם המעגל נקרא משיק למעגל. הנקודה המשותפת נקראת נקודת ההשקה או נקודת המגע.
בסקיצה להלן הישר l משיק למעגל O בקודת ההשקה A.











משפטים:

משיק למעגל מאונך לרדיוס העובר בנקודת ההשקה
נניח מעגל O ומשיק a למעגל בנקודת השקה A, אזי רדיוס המעגל OA מאונך למשיק a .
המשפט ההפוך תקף גם: ישר המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל









שני משיקים מנקודה שמחוץ למעגל והקטע המחבר את מרכז המעגל עם הנקודה

משפטים נוספים:
נניח שני משיקים ( AC, BC) היוצאים למעגל מנקודה C מחוץ למעגל O. מתקימות שתי תכונות:
1. המשיקים שווים: AC = BC
2. הקטע המחבר את מרכז המעגל עם הנקודה ממנה יוצאים המשיקים חוצה את הזוית בין שני המשיקים. כלומר: הקטע OC חוצה זוית C :
זוית C1 = זוית C2

משפט - זוית בין משיק למיתר
הזווית בין משיק למיתר הנפגשים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני
הזווית בין משיק למיתר הנפגשים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני

 נתון מעגל שמרכזו בנקודה O
AB מיתר במעגל, ו- l משיק למעגל בנקודה A

מכאן שזוית היקפית כלשהי  ᵧ (זוית ACB) הנשענת על מיתר AB שווה לזוית α  (זוית BAl) בין משיק l למיתר AB.
  ᵧ = α

הוכח: אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים שני משיקים למעגל, אז הקטע המחבר את מרכז המעגל עם הנקודה שממנה יוצאים שני המשיקים חוצה את הזווית שבין המשיקים.


שני משיקים מנקודה שמחוץ למעגל והקטע המחבר את מרכז המעגל עם הנקודה
שני משיקים מנקודה שמחוץ למעגל והקטע המחבר את מרכז המעגל עם הנקודה
נתון 
מעגל שמרכזו הנקודה O
AC משיק למעגל O בנקודה A
BC משיק למעגל O בנקודה B
OC - הקטע המחבר את מרכז המעגל O עם הנקודה C שממנה יוצאים שני המשיקים.

צריך להוכיח

זוית OCA (זוית C1) = זוית OCB (זוית  C2)

הוכחה

שיטת ההוכחה
בונים בניית עזר הרדיוסים OA, OB, והקטע OC וחופפים משולשים AOC, BOC ע"פ משפט חפיפה רביעי. מהחפיפה נובע כי הזויות C1, C2 שוות.

בניית עזר
בונים בניית עזר הרדיוסים OA, OB, והקטע OC

חפיפת משולשים AOC, BOC
1: AB = BO - רדיוסים במעגל O - ראה בניית עזר
2: CO = CO - צלע משותפת
3: זוית OAC = זוית OBC = 90 מעלות - זויות בין הרדיוסים OA, OB למשיקים CA, CB בהתאמה שוות 90 מעלות.

מכאן:
משולשים AOC, BOC חופפים - נובע מ- 1,2,3 ע"פ משפט חפיפה רביעי

מהחפיפה נובע: זוית C1 = זוית C2

מ.ש.ל