סדרה חשבונית מבגרות 5 יחידות חורף 2020

 שאלה

a_n היא סדרה חשבונית .

k ו- p הם מספרים טבעיים k < p .

נתון: a_k = p , a_p = k

א. (1) הוכח שהפרש הסדרה a_n הוא 1- .
(2) הבע את a₁ באמצעות k ו-p.

הסדרה c_n מוגדרת כך: c_n = a_n - n

נתון כי סכום 6 האיברים הראשונים בסדרה c_n הוא 0 .

ב. (1). מצא את a₁ .
(2). מה הם ערכי k ו- p ? מצא את כל האפשרויות.

ג.חשב את הסכום

(c₁ - c₂)² + (c₃ - c₄)² + . . . + (c₉₉ - c₁₀₀)²

נמק.

פתרון

א. (1) הוכח שהפרש הסדרה 1-

נתון: a_k = p , a_p = k

נחשב את האיברים ה- k , וה- p ונציב:

a_k = a₁ + dᐧ(k - 1)  = p

a_p = a₁ + dᐧ(p - 1)  = k

a₁ = p - d(k - 1)

a₁ = k - dᐧ(p - 1)

p - dᐧ(k - 1) = k - dᐧ(p - 1)

p - k = dᐧ(k - 1) - dᐧ(p - 1)

p - k = dᐧk - d - dᐧp + d = dᐧk - dᐧp

p - k = -dᐧ(p - k)

-d = (p - k) / (p - k) = 1

d = -1

א. (2) הבע את a₁ באמצעות k ו-p.

על פי הפיתוח לעיל נציב d  = -1 :

a₁ = p - dᐧ(k - 1)

a₁ = p - (-1)(k - 1) = p + (k - 1) = p + k -1

a₁ = p + k - 1

ב. (1). מצא את a₁ 

הסדרה c_n מוגדרת כך: c_n = a_n - n
נתון כי סכום 6 האיברים הראשונים בסדרה c_n הוא 0 .

 

השיטה: נציב סכום 6 האיברים הראשונים בסדרה c_n הוא 0 , ונקבל ערך מספרי של הסכום   p + k , ומכאן נחשב את a_{1 .}

c_n = a_n - n

נחשב תחילה את a_n  :

a_n  = a1 + d(n - 1) = (p + k - 1) + (-1)ᐧ(n - 1) = p + k - 1 - n + 1 = p + k - n

a_n  =  p + k - n

נחשב את c_n :

c_n = a_n - n = (p + k - n) - n = p + k - 2n

c_n  = p + k - 2n

ניתן להוכיח בקלות כי הסדרה c_n היא חשבונית שהפרשה 2- (המקדם של n) , ואיברה הראשון p+k-2  ולחשב סכום 6 איברים ראשונים לפי נוסחה.

אולם נחשב ״ידנית״ סכום ששת האיברים הראשונים בסדרה c_n:

c_n  = p + k - 2n

c₁ = p + k - 2
c₂ = p + k - 4
c₃ = p + k - 6
c₄= p + k - 8
c₅ = p + k - 10
c₆ = p + k - 12

c₁ + c₂ + ... + c₆ = 0

c₁ + c₂ + ... + c₆ = p + k - 2 + p + k - 4 +.  .... + p + k - 12 = 6(p + k) - 42 = 0

6(p + k) = 42

p + k = 7

a₁ = p + k -1 = 7 - 1 = 6

a₁ = 6

ב. (2)  ערכי k ו- p האפשריים

מצאנו לעיל כי p + k = 7 ונתון כי k ו- p הם מספרים טבעיים וכן: k < p .
האפשרויות הקיימות הן:

p = 6 , k = 1

p = 5 , k = 2

p = 4 , k = 3

ג. מציאת הסכום  : 

(c₁ - c₂)² + (c₃ - c₄)² + . . . + (c₉₉ - c₁₀₀)²

נבדוק אם הסדרה  c_n  חשבונית ומהו הפרשה.

כפי שמצאנו לעיל:

c_n  = p + k - 2n

p + k = 7

לכן:

c_n  = 7 - 2n

c_n  = 5 + 2 - 2n = 5 -2(n - 1)

c_n  = 5 -2(n - 1)

זהו ביטוי של סדרה חשבונית מהצורה  c_n = c₁ + d(n-1)  שהפרשה 2- = d  (ואיברה הראשון 5 = c₁).

מכאן ש -c_n  סדרה חשבונית שהפרשה d = -2.

כלומר  :

(c1 - c2)² + (c3 - c4)² + . . . + (c99 - c100)² = 2² + 2² ..... + 2² = 50 ᐧ 2² = 200