גאומטריה- פתרון שאלה מבגרות 5 יחידות מתמטיקה קיץ 2009

שאלה


ABC הוא משולש שווה-צלעות החסום במעגל. N ו- P הן נקודות על המעגל.

BN ו- AP נפגשים בנקודה S(ראה ציור).

נתון:  PC || BN

משולש שווה צלעות חסום במעגל

הוכח כי:

א. המשולש BSP הוא שווה-צלעות.

ב.  המרובע SPCN הוא מקבילית.

ג. AN = PC.

פתרון

א. נוכיח שמשולש BSP שווה צלעות על ידי הוכחה כי 2 מזוויותיו שוות 60 מעלות, ואז גם הזווית השלישית משלימה ל- 180 מעלות שווה גם 60 מעלות ולכן משולש זכל זוויותיו שוות הוא שווה צלעות.

(1) -    600 =  SPB  - נשענת על קשת AB של משולש שווה צלעות ABC החסום במעגל.

(2) - 600 =  SPC - נשענת על קשת AC של משולש שווה צלעות ABC החסום במעגל.

(3) - זווית SPC = SPB - פנימיות מתחלפות PC || BN , חותך SP.

(4) -  600 =  BSP  - נובע מ- (2) , (3).

(5) - משולש SPB שווה צלעות מאחר ושתיים מזוויותיו BSP ו- SPB שוות 60 מעלות כל אחת נובע מ - 1, 4.

ב. נוכיח שהמרובע SPCN הוא מקבילית על ידי הוכחת שוויון כל 2 מזויותיו הנגדיות.

(6) זווית APC = זווית BNC = ששים מעלות - הזויות נשענות על קשתות AC, BC של משולש שווה צלעות ABC .

(7)  -1200 =  NSP  - משלימה את זווית BSP  השווה ל 60 מעלות (הוכח ב- 4) ל- 180 מעלות.

(8) 600 =  BNC , נשענת על קשת BC של משולש שווה צלעות ABC החסום במעגל.

(9) - 1200 =  NCP - משלימה את זוויות APC , BNC , NSP ל- 360 מעלות במרובע SPCN   (ראה, 6, 7, 8).

(10) - מרובע SPCN מקבילית - מרובע שבו זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית. (שיוויון הזוויות נובע מ- 6, 7 ,8, 9).

ג. נוכיח AN = PC.

(11) - PC = SN - צלעות נגדיות במקבילית SPCN שוות.

(12) 600 =  BNA - נשענת על קשת AB של משולש שווה צלעות ABC החסום במעגל.

(13) 600 =  ASN. - קודקודית לזווית BSP השווה 60 מעלות (הוכח ב- 4).

(14) - משולש ANS שווה צלעות - נובע מ- 13, 14 - משולש ששתיים מזוויותיו שוות 60 מעלות הוא שווה צלעות.

(15) - AN = SN - נובע מ- 14.

(16) - PC = SN - נובע מ- 15 ו- 11.

מ.ש.ל