אינדוקציה מתמטית - סכום טור חשבוני שאיברו הראשון 1 והפרשו 1

שאלה

הוכח בדרך האינדוקציה כי:

1 + 2 + 3 + ... + n = nᐧ(n + 1 ) / 2

פתרון

תזכורת הוכחה באינדוקציה:

א. בדיקה עבור n = 1,2,..t כלשהו (תלוי בטענה, בדיקה)

ב. הנחת נכונות הטענה עבור k (הנחת האינדוקציה).

ג. הוכחה עבור  n = k +1  (צעד האינדוקציה).

1. בדיקה עבור n = 1 : 

1 = 1 ᐧ 2 / 2 = 1

2. נניח כי הטענה נכונה עבור n = k כלומר:

1 + 2 + 3 + ... + k = kᐧ(k + 1 ) / 2

3. נוכיח עבור  n = k + 1  מתקיים:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k +1) = (k + 1)ᐧ(k + 2 ) / 2

הוכחה:

עבור n = k + 1 :

1 + 2 + 3 + ... + k + (k +1) =  kᐧ(k + 1 ) / 2 + (k +1) =

[kᐧ(k + 1 ) + 2(k +1)] / 2 = (k +1)ᐧ(k +2) / 2

מ.ש.ל