תזכורת הוכחה באינדוקציה:
א. בדיקה עבור n=1,2,…t כלשהו (תלוי בטענה) (בדיקה).
ב. הנחת נכונות הטענה עבור k (הנחת האינדוקציה).
ג. הוכחה עבור n=k+1 (צעד האינדוקציה).
שאלה
נתונה סדרה חשבונית:
2 , 5 , 8 , ... an
הוכח בדרך האינדוקציה שעבור כל n טבעי מתקיים:
2ᐧ3^(an) + 3ᐧ2^(an+1)
מתחלק ב- 38 ללא שארית.
הוכחה
נמצא תחילה את an :
הסדרה היא חשבונית שאיברה הראשון 2, והפרשה 3:
a1 = 2
d = 3
an = a1 + d(n-1)
an = 2 + 3(n-1) = 2 + 3n - 3
an = 3n - 1
לכן ניתן לרשום את הסדרה כך:
2 , 5 , 8, ... 3n-1
נוכיח אם כן שהביטוי שנסמנו Bn:
Bn = 2ᐧ33n-1 + 3ᐧ23(n+1)-1
Bn = 2ᐧ33n-1 + 3ᐧ23n+2
מתחלק ב- 38 ללא שארית.
נוכיח בדרך האינדוקציה.
נבדוק עבור n = 1:
B1 = 2ᐧ33*1-1 + 3ᐧ23*1+2 = 2ᐧ3² + 3ᐧ25 = 114
114 / 38 = 3
הבדיקה הצליחה עבור n = 1.
נניח (הנחת האינדוקציה) שעבור n = k הביטוי:
Bk = 2ᐧ33k-1 + 3ᐧ23k+2
מתחלק ב- 38 ללא שארית.
נוכיח ש - Bk+1 = 2ᐧ33k+2 + 3ᐧ23k+5 מתחלק ב- 38 ללא שארית.
נפתח את Bk+1 :
Bk+1 = 2ᐧ33k+2 + 3ᐧ23k+5
Bk+1 = 2ᐧ33ᐧ33k-1 + 3ᐧ23ᐧ23k+2
Bk+1 = 54ᐧ33k-1 + 24ᐧ23k+2
Bk+1 = 38ᐧ33k-1 +16ᐧ33k-1 + 24ᐧ23k+2
Bk+1 = 38ᐧ33k-1 +8*(2ᐧ33k-1 + 3ᐧ23k+2)
הביטוי 38ᐧ33k-1 מתחלק ב- 38 ללא שארית.
גם הביטוי (2ᐧ33k-1 + 3ᐧ23k+2)*8 מתחלק ב- 38 ללא שארית על פי הנחת האינדוקציה.
לכן Bk+1 מתחלק ב- 38 ללא שארית.
מ.ש.ל
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה