שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת

שלשה התיכונים במשולש

הוכחת המשפט

נתון:
AE = BE
AD = CD
BF = FC

צ"ל: תיכוני המשולש ABC נפגשים בנקודה אחת (התיכונים BD, AF, CE)

הוכחה:

BD ו- CE נפגשים בנקודה אחת O
ומתקיים BO = 2DO (עפ"י המשפט: כל שני תיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת שמחלקת כל אחד מהם ביחס של 2:1 כך שהחלק הארוך יותר קרוב לקדקוד).
עפ"י אותו משפט בדיוק BE ו- AF נפגשים בנקודה אחת ומתקיים:
BO = 2DO .
מכאן שזו אותה נקודה O.

מ.ש.ל.

קישורים:

• משפט: כל שני אנכים אמצעיים לצלעות במשולש נחתכים
  
• משפט: שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת
• משפט: שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת
• משפט: שלושת האנכים האמצעיים לצלעות המשולש נפגשים בנקודה אחת