מתי מתוק: הוכחת אי שוויון מעריכי בדרך האינדוקציה

שאלה

הוכח בדרך האינדוקציה או בכל דרך אחרת כי האי שוויון

3ⁿ > n² + 1

מתקיים לכל n טבעי.

הוכחה

נבדוק תחילה את תכונות האי שוויון עבור n = 1 :

3¹ > 1² + 1

3 > 2

הנחת האינדוקציה - נניח שעבור n = k מתקיים:

3^k > k² + 1

נוכיח שעבור n = k + 1 מתקיים:

3^k+1 > (k + 1)² + 1

נפתח את האי שוויון :

3^k+1 > (k + 1)² + 1

3 ᐧ 3^k > k² + 2k + 1 + 1

3^k + 3^k + 3^k > (k² + 1) + (k + 1) + k

נתבונן באגפי האי שוויון, מהנחת האינדוקציה נובעים האי שוויונים:

3^k > k² + 1

3^k > k + 1

3^k > k

מ.ש.ל

דפים