שאלה
1/2² + 1/3² + 1/4² + . . . + 1/n² < (n - 1)/n
פתרון
נוכיח את אי השוויון בדרך האינדוקציה.
נבדוק עבור n = 2:
1/2² < (2 - 1)/2
1/4 < 1/2
האי שוויון מתקיים עבור n = 2.
הנחת האינדוקציה: נניח שעבור n = k מתקיים:
1/2² + 1/3² + 1/4² + . . . + 1/k² < (k - 1)/k
נוכיח שעבור n = k + 1 מתקיים:
1/2² + 1/3² + 1/4² + . . . + 1/k² + 1/(k +1)² < k /(k + 1)
נשתמש בהנחת האינדוקציה ומציב את האי שוויון שהנחנו ונקבל:
(k - 1)/k + 1/(k +1)² < k /(k + 1)
נפתח אי שוויון זה כדי להוכיח אותו ונבחן האם נקבל בסוף ביטוי אמת:
(k - 1)/k < k /(k + 1) - 1/(k +1)²
(k - 1)/k < [k(k +1) - 1] / (k +1)²
(k - 1)(k +1)² / k < k(k +1) - 1
(k² - 1)(k + 1) < k(k² + k - 1)
k³ + k² - k - 1 < k³ + k² - k
-1 < 0
קיבלנו פסוק אמת 0 > 1- כלומר האי שוויון עבור n = k +1 מתקיים.
מ.ש.ל.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה