סדרה חשבונית - מבגרות 5 יח' קיץ 2009

שאלה

 

סך התשלום עבור טלוויזיה מחולק ל- 12 תשלומים חודשיים. 

התשלומים החודשיים מהווים סדרה חשבונית.

סך התשלום עבור הטלוויזיה גדול פי 1.52 מסך 6 התשלומים הראשונים, והוא גדול ב- 1,900 מהסכום של שני התשלומים האמצעיים.

מצא את:

א. ההפרש של הסדרה החשבונית.

ב. סך התשלום עבור הטלוויזיה.

 

פתרון

 

התשלומים יתוארו על ידי סדרה חשבונית.

מספר התשלומים n = מספר איברים בסדרה החשבונית.

התשלום הראשון a1 הוא האיבר הראשון בסדרה החשבונית ההפרש בין התשלומים d הוא הפרש הסדרה. האיבר ה- n בסדרה חשבונית נתון בנוסחה:

a_n = a₁ + d(n-1)

סכום סדרה חשבונית בת n איברים נתון :

S_n = ½n(a₁ + a_n) = = ½n[(2a₁ + d(n – 1)]

נתייחס לנתון כי "סך התשלום עבור הטלוויזיה גדול פי 1.52 מששת התשלומים הראשונים"

כלומר:

S₁₂ = 1.52ᐧS₆

  ½ᐧ12[(2a₁ + d(12 – 1)] = 1.52ᐧ ½ᐧ6[(2a₁ + d(6 – 1)]

2(2a₁ + 11d) = 1.52(2a₁ + 5d)

4a₁ + 22d = 3.04a₁ + 7.6d

משוואה 1

0.96a₁ + 14.4d = 0

נתייחס לנתון כי " סך התשלום עבור הטלוויזיה ... גדול ב- 1,900 שקל מסכום שני התשלומים האמצעיים"

התשלומים האמצעיים מ- 12 התשלומים הם תשלומים 6 ו-7:

a₆ + a₇ = S₁₂ – 1900

a₁ + 5d + a₁ +6d = ½ᐧ12[(2a₁ + d(12 – 1)] -1900

2a₁ + 11d = 12a₁ + 66d – 1900

משוואה 2

10a₁ + 55d = 1900

פתרון משוואות 1 ו-2 :

a₁ = 300 ; d = -20

ההפרש של הסדרה החשבונית הוא:  d = -20

סך התשלום עבור הטלוויזיה:

S₁₂ = ½ᐧ12[(2a₁ + d(12 – 1)] = 2280