שאלה פתורה בחקירת פונקציות - מתוך בגרות 5 יח' קיץ 2009

תרגיל

נתונה פרבולה שמשוואתה  y = (m-1)ᐧx² - (2m - 2)ᐧx + 9 - m

א. עבור אילו ערכים של m הפרבולה אינה עוברת מתחת לציר ה- x?

ב. עבור אילו ערכים של m קדקוד הפרבולה נמצא מעל הישר  y = 4, כאשר לפרבולה יש מקסימום?

הערה: פתרון סעיף ב אינו תלוי בפתרון סעיף א.

 

פתרון

סעיף א

משוואת הפונקציה המעריכית ממעלה שניה נתונה ע"י :  y = ax² + bx + c . 

צורתה של הפונקציה היא פרבולה.

כאשר a > 0 קדקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום, וכאשר a > 0 קדקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום.

 

 

פרבולה עם נקודת מינימום מעל ציר x (ה- x של נקודת המינימום גדול מאפס).

 

על מנת שהפרבולה לא תעבור מתחת לציר x נדרוש כאמור שהיא תהיה בעלת נקודת מינימום כלומר a >0.

בנוסף נדרש שהפרבולה לא תחתוך את ציר  x או תשיק לו בנקודת המינימום שהרי דרשנו שהיא לא תעבור מתחת לציר x.

כלומר נדרוש שלא יהיו לה שורשים כלל או שורש אחד:  b² - 4ᐧaᐧc ≤ 0

ולכן עבור הפונקציה :

y = (m-1)x²- (2m – 2)x + 9 - m

נציב:

תנאי ראשון

 a > 0

m – 1 > 0

m > 1

   

התנאי שני:

b² - 4ᐧaᐧc ≤ 0

(2m -2)² -4(m-1)(9-m) ≤ 0

4m² – 8m +4 -4(-m² +10m -9) ≤ 0

4m² – 8m +4 + 4m² -40m +36 ≤ 0

8m² – 48m + 40 ≤ 0

m² – 6m + 5 ≤ 0

(m – 1)(m – 5) ≤ 0

מתקבלים האי שוויונים:

1 ≤ m ≤ 5

m > 1

החיתוך בין התנאי הראשון והשני (פתרון סעיף א): 

 1 < m ≤ 5

סעיף ב

נתונה סקיצה של פרבולה עם נקודת מקסימום y = ax² + bx +c   שקדקודה מעל הישר y = 4

 

פרבולה עם נקודת מקסימום (ברביע הרביעי)

נבדוק עבור אילו ערכים של m לפרבולה y = (m-1)x² - (2m - 2)x + 9 - m , נקודת מקסימום מעל הישר y=4.

דרוש:

תנאי ראשון : a < 0 - פרבולה עם נקודת מקסימום.

נציב בפרבולה עם הפרמטר m ונקבל תנאי ראשון:

m -1 < 0

m < 1

תנאי שני: קדקוד הפרבולה מעל הישר y = 4, כלומר שיעור ה- y של קדקוד הפרבולה גדול מ- 4.

שיעור ה-  x של קדקוד הפרבולה הוא: b/(2a)- : נסמן שיעור קדקוד הפרבולה (xm , ym)

xm = - b/(2a) = (2m - 2) / [2(m - 1)] = 2(m - 2) / [2(m - 1)]  = 1

ym = y(1) = (m-1)1² - (2m - 2)1 + 9 - m = m^2 - 2m +1 - 2m + 2 + 9 - m

ym = m² - 5m + 10

נדרוש קדקוד הפרבולה מעל הישר y = 4, כלומר ym > 4:

ym > 4

m² - 5m + 10 > 4

m² - 5m + 6 > 0

(m - 2)(m - 3) > 0

פתרון האי שוויון:

{m | m < 2 או m > 3}

החיתוך של תנאי ראשון ותנאי שני הוא m < 1

הערכים של m קדקוד הפרבולה נמצא מעל הישר  y = 4, כאשר לפרבולה יש מקסימום הוא m < 1.

נבדוק m = 0

y = (m-1)x² - (2m - 2)x + 9 - m

y = -x² + 2x + 9 

xm = 1 , ym = 10