הוכחת משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים מתאר את הקשר בין גודל שלושת הצלעות במשולש וקוסינוס הזווית שבין שתיים מהן. משפט הקוסינוסים הוא למעשה הרחבה של משפט פיתגורס למשולשים שאינם משולשים ישרי זווית.

ע"פ משפט הקוסינוסים במשולש שצלעותיו a, b, c והזויות מול הצלעות בהתאמה A, B, C - מתקיימים השוויונים (ראה סקיצה ושוויונים להלן):

משולש שצלעותיו a, b ,c וזוויותיו A, B, C
משולש שצלעותיו a, b ,c וזוויותיו A, B, C


a2 = b2 + c2 - 2ᐧbᐧcᐧcosA

b2 = a2 + c2 - 2ᐧaᐧcᐧcosB

c2 = a2 + b2 - 2ᐧaᐧbᐧcosC

ובהתאמה:
cosA = (-a2 + b2 + c2) / (2ᐧbᐧc) 
cosB = (a2 - b2 + c2) / (2ᐧaᐧc) 
cosC = (a2 + b2 - c2) / (2ᐧaᐧb) 

הוכחת משפט הקוסינוסים:


הוכחת משפט הקוסינוסים

ניתן להוכיח את משפט קוסינוסים על ידי בניית הגובה מנקודה B לצלע b מולה. 

על פי משפט פיתגורס:

c2  = (aᐧsinC)2 + (b - aᐧcosC)2

נפתח:

c2  = a2ᐧsin2C+ b2 - 2ᐧaᐧbᐧcosC + a2ᐧcos2C

c2 = a2 + b2 - 2ᐧaᐧbᐧcosC

דוגמה:
 
נתון משולש ששתיים מצלעותיו a, b שוות 2 ס"מ, ו- 5 ס"מ, והזווית ביניהם היא 500 .
חשב את אורך הצלע השלישית c.
 
פתרון:
 
על פי השאלה צלעות המשולש a, b שוות: (מידות בס"מ)

a = 5
b = 2



הזווית ביניהן C = 500 :   C
 
 נחשב את אורך הצלע c על פי משפט הקוסינוסים:

c2 = a2 + b2 - 2ᐧaᐧbᐧcosC

c2 = 52 + 22 - 2ᐧ5ᐧ2ᐧcos500

c2 = 25 + 4 - 20ᐧ0.6427 

c2 =  16.146

c = 4.018

אורך הצלע c הוא 4.018 ס"מ
 
 
קישורים:

תגובה 1: