ע"פ משפט הקוסינוסים במשולש שצלעותיו a, b, c והזויות מול הצלעות בהתאמה A, B, C - מתקיימים השוויונים (ראה סקיצה ושוויונים להלן):
משולש שצלעותיו a, b ,c וזוויותיו A, B, C |
a2 = b2 + c2 - 2ᐧbᐧcᐧcosA
b2 = a2 + c2 - 2ᐧaᐧcᐧcosB
c2 = a2 + b2 - 2ᐧaᐧbᐧcosC
ובהתאמה:
cosA = (-a2 + b2 + c2) / (2ᐧbᐧc)
cosB = (a2 - b2 + c2) / (2ᐧaᐧc)
cosC = (a2 + b2 - c2) / (2ᐧaᐧb)
הוכחת משפט הקוסינוסים:
ניתן להוכיח את משפט קוסינוסים על ידי בניית הגובה מנקודה B לצלע b מולה.
על פי משפט פיתגורס:
c2 = (aᐧsinC)2 + (b - aᐧcosC)2
נפתח:
c2 = a2ᐧsin2C+ b2 - 2ᐧaᐧbᐧcosC + a2ᐧcos2C
c2 = a2 + b2 - 2ᐧaᐧbᐧcosC
דוגמה:
חשב את אורך הצלע השלישית c.
פתרון:
a = 5
b = 2
הזווית ביניהן C = 500 : C⦩
נחשב את אורך הצלע c על פי משפט הקוסינוסים:
c2 = a2 + b2 - 2ᐧaᐧbᐧcosC
c2 = 52 + 22 - 2ᐧ5ᐧ2ᐧcos500
c2 = 25 + 4 - 20ᐧ0.6427
c2 = 16.146
c = 4.018
אורך הצלע c הוא 4.018 ס"מ
קישורים:
תגובה זו הוסרה על ידי המחבר.
השבמחק