הוכחת משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים מתאר את הקשר בין גודל שלושת הצלעות במשולש וקוסינוס הזווית שבין שתיים מהן. משפט הקוסינוסים הוא למעשה הרחבה של משפט פיתגורס למשולשים שאינם משולשים ישרי זווית.

ע"פ משפט הקוסינוסים במשולש שצלעותיו a, b, c וקדקודיו מול הצלעות בהתאמה A, B, C - מתקיימים השוויונים (ראה סקיצה ושוויונים להלן):

משולש שצלעותיו a, b ,c וקדקודיו A, B, C

a² = b² + c² - 2ᐧbᐧcᐧcos(∢A)

b² = a² + c² - 2ᐧaᐧcᐧcos(∢B)

c² = a² + b² - 2ᐧaᐧbᐧcos(∢C)

ובהתאמה:

cosA = (-a² + b² + c²) / (2ᐧbᐧc) 

cosB = (a² - b² + c²) / (2ᐧaᐧc) 

cosC = (a² + b² - c²) / (2ᐧaᐧb) 

הוכחת משפט הקוסינוסים:

ניתן להוכיח את משפט קוסינוסים על ידי בניית הגובה מנקודה B לצלע b מולה. 

על פי משפט פיתגורס:

c²  = [aᐧsin(∢C)]² + [b - aᐧcos(∢C)]²

נפתח:

c²  = a²ᐧsin²(∢C)+ b² - 2ᐧaᐧbᐧcos(∢C)+ a²ᐧcos²(∢C)

c² = a² + b² - 2ᐧaᐧbᐧcos(∢C)

דוגמה:

 

נתון משולש ששתיים מצלעותיו a, b שוות 2 ס"מ, ו- 5 ס"מ, והזווית ביניהם היא 50⁰ .
חשב את אורך הצלע השלישית c.

 

פתרון:

 

על פי השאלה צלעות המשולש a, b שוות: (מידות בס"מ)

a = 5
b = 2



הזווית ביניהן C = 50⁰ :   C⦩

 

 נחשב את אורך הצלע c על פי משפט הקוסינוסים:

c² = a² + b² - 2ᐧaᐧbᐧcos(∢C)

c² = 5² + 2² - 2ᐧ5ᐧ2ᐧcos50⁰

c² = 25 + 4 - 20ᐧ0.6427 

c² =  16.146

c = 4.018

אורך הצלע c הוא 4.018 ס"מ

 

 

קישורים:

פתרון בעיה בטריגונומטריה - משולשים חסומים במעגל - מתוך מתכונת חורף 2008