משוואת מיתר משותף של שני מעגלים נחתכים

בעת פתרון בעיה שגרתית העוסקת בחיפוש אחר משוואה של מיתר משותף של שני מעגלים נחתכים התגלתה המשוואה המבוקשת עוד לפני תום התהליך. חקירה מתמטית גילתה שהדבר אינו מקרי.

שאלה

נתונים  שני מעגלים:

(x - 3)² + (y - 9)² = 25  ,   (x - 6)² + (y - 3)² = 10

א. נא להוכיח כי המעגלים נחתכים.

ב. נא למצוא את משוואת המיתר המשותף.

פתרון

א. נוכיח שהמעגלים נחתכים

נחשב את המרחק בין מרכזי המעגלים (קטע המרכזים) ונבsוק אם גודלו קטן מסכום מחוגי המעגלים. אם כן, נסיק שהמעגלים נחתכים בשתי נקודות. בנוסף נבדוק שאורך קטע המרכזים גדול מהפרש הרדיוסים שי המעגלים וזה על מנת לוודא שמעגל אחד אינו מכיל את השני.

אורך קטע המרכזים: 

         _____________      ______

d = √(6 - 3)² + (3 - 9)² = √(9 + 36)  = √45 = 3√5 = 6.71

רדיוסי המעגלים ניתן לראות ממשוואות המעגלים, הם: 5, 10√, או 5 , 3.16.

סכום רדיוסי המעגלים: 8.16.

הפרש רדיוסי המעגלים: 1.84.

ניתן לראות כי 8.16 > 6.71 > 1.84. 

לכן המעגלים נחתכים בשתי נקודות.

ב. משוואת המיתר המשותף לשני המעגלים

כדי למצוא את משוואת המיתר המשותף לשני המעגלים, נמצא את נקודות החיתוך ביניהם ומשוואת הקו העובר דרך שתי נקודות החיתוך הוא משוואת המיתר המשותף לשני המעגלים.

למציאת נקודות החתים נפתור משוואות שני המעגלים:

(x - 3)² + (y - 9)² = 25 

(x - 6)² + (y - 3)² = 10

x^2 - 6x +9 + y^2 -18y +81 = 25

x^2 -12x +36 + y^2 -6y + 9 = 10

לאחר חיסור המשוואות וסידורן נקבל:

(*) x - 2y + 5 = 0 

 נבטא את x באמצעות y:

x = 2y - 5

ונציב במשוואות אחד המעגלים:

(2y - 5 - 3)² + (y - 9)² = 25 

5y^2 - 50y + 120 = 0   --->  y1 = 6 , y2 = 4

y1 = 6  --> x1 = 7

y2 = 4  --> x2 = 3

נקודות חיתוך המעגלים: (6, 7) , (4, 3).

משוואת המיתר המשותף  היא אם כן:

שיפוע המיתר  m = (6 - 4) / (7 - 3) = 2 / 4 = 1 / 2

משוואת המיתר:

y - 4 = (1/2)(x - 3)

x - 2y + 5 = 0

קיבלנו שמשוואת המיתר המשותף היא משוואה (*).

האם זה מקרי? מסתבר שלא. מה הסיבה ? המשוואה (*) מייצגת ישר. ברור שכל נקודה, אשר הצבתה בכל אחת ממשואות המעגלים נותנת פסוק אמת, תיתן פסוק אמת גם בהצבתה בישר. ישנן רק שתי נקודות כאלה והן קובעות ישר יחיד – המיתר המשותף!

קישורים:

בעיה פתורה גיאומטריה אנליטית - מציאת נקודה ומשוואת קו - מתוך בגרות 3 יחידות קיץ 2007