נתונים שני מעגלים:
(x - 6)2 + (y - 3)2 = 5
x2 + y2 = 80
א. נא להוכיח כי המעגלים משיקים זה לזה.
ב. נא למצוא את משוואת המשיק המשותף.
פתרון
א. נחשב את אורך קטע המרכזים:
d = √6^2 + 3^2 = √45 = 3 √5
נחשב את הפרש אורכי הרדיוסים:
R1 - R2 = √80 - √5 = 4 √5 - √5 = 3 √5
כלומר אורך קטע המרכזים שווה להפרש בין אורכי המחוגים ולכן המעגלים משיקים.
ב.
נמצא את נקודת ההשקה על ידי פתרון מערכת המשוואות:
(x - 6)2 + (y - 3)2 = 5
x2 + y2 = 80
נפתח משוואה ראשונה
x2 - 12x + 36 + y2 - 6y +9 = 5
x2 + y2 = 80
לאחר חיסור שתי המשוואות וסידורן נקבל:
(**) 2x + y = 20
y = 20 - 2x
נציב במשוואת המעגל הקנוני ונקבל:
x2 + y2 = 80 => x2 + (20 - 2x)2 = 80 => 5x2 - 80x + 320 = 0. =>
x2 - 16x + 64 = 0
x = 8
y = 20 - 2x = 4
כלומר נקודת ההשקה A היא (4 , 8) A .
משוואת המשיק למעגל הקנוני בנקודה (4 , 8) A היא :
x·x1 + y·y1 = 80
8x + 4y = 80
משוואת המשיק המשותף לשני המעגלים הוא:
2x + y = 20
וזו המשוואה ( **). כלומר שוב כל הדרך הייתה מיותרת! האם זה מקרי ? גם כאן אין הדבר מקרי. הרי ברור שכל נקודה שהצבתה בכל אחת ממשואות המעגלים נותנת פסוק אמת תיתן פסוק אמת גם בהצבתה במשוואה (**). כך ברור שהמשוואה (**) מייצגת ישר העובר דרך הנקודה היחידה המשותפת לשני המעגלים.
הנקודה היא נקודת ההשקה. אך האם ברור שהישר שקיבלנו הוא אכן המשיק? הרי אינסוף ישרים עוברים דרך הנקודה היחידה המשותפת לשני המעגלים. אולם אם הישר שהתקבל לא היה המשיק המבוקש, אך היה עובר בנקודה המשותפת שלני המעגלים, הרי שהיה חותך את שני המעגלים, ואז היו עליו עוד שתי נקודות המקיימות כל אחת רק משוואה של מעגל אחד. בכל אחת מנקודות אלה מתקיימת רק משוואה של מעגל אחד, לכן המשוואה של הישר, המתקבלת מחיסור המשוואות של שני המעגלים, אינה מתקיימת.
מסקנה: זהו המשיק. אפשר להוכיח את תכונת ההשקה גם על-ידי התייחסות לשיפוע של הישר המתקבל. ניעזר במשפט: "כאשר שני מעגלים משיקים זה לזה קטע המרכזים עובר דרך נקודת ההשקה", כלומר קטע המרכזים מאונך למשיק המשותף.
שיפוע הישר שקיבלנו הוא m1 = - 2 ואילו שיפוע קטע המרכזים הוא 1/2 = m2 = (3-0) / (6-0) , כלומר מכפלת השיפועים היא (1-) . לכן קיבלנו ישר העובר דרך הנקודה המשותפת לשני המעגלים ומאונך לקטע המרכזים, לפיכך זהו המשיק המשותף.
הערה: ניתן לראות את מצב ההשקה בין המעגלים גם כמצב גבולי של חיתוך שלהם. כאשר 'החיתוך שואף להשקה', המיתרים המשותפים שואפים למשיק המשותף, ומכאן ההתנהגות הזהה בשתי הבעיות ברורה – ההפרש בין משוואות המעגלים נותן את המיתר / המשיק המשותף.
אנו פוגשים מצבי גבול של ישרים מספר פעמים לאורך תכנית הלימודים בבית-הספר העל-יסודי, למשל: ניתן לראות קטע אמצעים במשולש כמצב גבולי של קטע אמצעים בטרפז; משיק וחותך למעגל, היוצאים שניהם מנקודה משותפת מחוף למעגל, יכולים להיתפס כמצב גבולי של שני חותכים למעגל היוצאים מאותה נקודה; או, בתחילת ההוראה של מושג הנגזרת מקובל להסתכל על משיק כעל גבול של מיתרים אשר אחת מנקודות הקצה שלהם קבועה והשנייה נעה על הגרף של הפונקציה ומתקרבת-שואפת אליה.
היופי בתוצאות שקיבלנו ביחס לפשטות התהליך של מציאת המשיק או המיתר המשותף נובע מכך שניתן להסביר אותן תוך שימוש בשיקולים פשוטים וללא הפעלת כלים כבדים של טכניקה אלגברית. יחד עם זאת ניתן לתמוך את התוצאות גם בהוכחה אלגברית פורמלית. הוכחה זו מובאת בסוף המאמר .
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה