במתמטיקה, סדרה הנדסית היא סדרה של מספרים, כך שהמנה של כל שני איברים עוקבים (או היחס בין כל שני איברים סמוכים) היא קבועה. במלים אחרות, ניתן לחשב כל איבר על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במנת הסדרה. היא נקראת סדרה הנדסית משום שכל איבר בה הוא ממוצע הנדסי של האיברים הסמוכים לו.
סדרה הנדסית מוגדרת על ידי שני מרכיבים: האיבר הראשון שלה ומנת איבריה. משני נתונים אלו ניתן לדעת את ערכו של כל איבר בסדרה. אם a1 הוא האיבר הראשון ו־ q היא מנת הסדרה,
סדרה הנדסית מוגדרת על ידי שני מרכיבים: האיבר הראשון שלה ומנת איבריה. משני נתונים אלו ניתן לדעת את ערכו של כל איבר בסדרה. אם a1 הוא האיבר הראשון ו־ q היא מנת הסדרה,
האיבר ה־ n נתון על ידי הנוסחה an = a1 ᐧ qn-1
ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה־
-י (כולל) בעזרת הנוסחה 
.
דוגמה לסדרה הנדסית שמנתה היא 3 והאיבר הראשון שלה הוא 2: 162 ,54, 18, 6, 2. מספר איברי הסדרה הוא 5. מכאן שסכום הסדרה הוא
-י (כולל) בעזרת הנוסחה .דוגמה לסדרה הנדסית שמנתה היא 3 והאיבר הראשון שלה הוא 2: 162 ,54, 18, 6, 2. מספר איברי הסדרה הוא 5. מכאן שסכום הסדרה הוא
דוגמאות תרגילים פתורים
תרגיל 1
נתונה סדרה הנדסית שבה האיבר השני שווה 54 והאיבר החמישי שווה 16. מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת המנה.
פתרון תרגיל 1
נתון:
a2 = 54
a5 = 16
נדרש למצוא את a1 ו- q
a2 = 54
a5 = 16
a2 = a1 ᐧ q
a5 = a1 ᐧ q4
a5 / a2 = a1 ᐧ q4 / a1 ᐧ q = 16 / 54
q3 = 8 / 27
q = 2 / 3
a2 = a1 ᐧ q = a1 ᐧ 2 / 3 = 54
a1 = 81
תרגיל 2
סכום שלושת האברים הראשונים בסדרה הנדסית הוא 380. סכום שני האברים הראשונים גדול ב-20 מהאיבר השלישי. מצא את שלושת האברים הראשונים
פתרון תרגיל 2
נסמן את איברי הסדרה ב- a1 , a2 ,a3 ואת המנה q.
משוואה 1: סכום שלושת האיברים הראשונים בסדרה הוא 380 לכן:
משוואה 2: סכום שני האברים הראשונים גדול ב-20 מהאיבר השלישי לכן:
ע"פ הגדרת סדרה הנדסית:
לכן משוואות 1 ו -2 :
קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים, נפתור:
חיבור המשוואות
הצבת a1 באחת המשוואות:
קיבלנו משוואה ריבועית, נפתור:
כלומר יש שתי אפשרויות לסדרה:
אפשרות אחת עם איבר ראשון 80 ומנה 1.5, כלומר:
a1 = 80
q = 1.5
a2 = a1 ᐧ q = 80 ᐧ 1.5 = 120
a3 = a2 ᐧ q = 120 ᐧ 1.5 = 180
אפשרות שניה:
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה