במתמטיקה, סדרה הנדסית היא סדרה של מספרים, כך שהמנה של כל שני איברים עוקבים (או היחס בין כל שני איברים סמוכים) היא קבועה. במלים אחרות, ניתן לחשב כל איבר על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במנת הסדרה. היא נקראת סדרה הנדסית משום שכל איבר בה הוא ממוצע הנדסי של האיברים הסמוכים לו.
סדרה הנדסית מוגדרת על ידי שני מרכיבים: האיבר הראשון שלה ומנת איבריה. משני נתונים אלו ניתן לדעת את ערכו של כל איבר בסדרה. אם a1 הוא האיבר הראשון ו־ q היא מנת הסדרה,
סדרה הנדסית מוגדרת על ידי שני מרכיבים: האיבר הראשון שלה ומנת איבריה. משני נתונים אלו ניתן לדעת את ערכו של כל איבר בסדרה. אם a1 הוא האיבר הראשון ו־ q היא מנת הסדרה,
האיבר ה־ n נתון על ידי הנוסחה an = a1 ᐧ qn-1
ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה- n י (כולל) בעזרת הנוסחה : Sn = a1 ᐧ (qn -1) / (q - 1)
דוגמה לסדרה הנדסית שמנתה היא 3 והאיבר הראשון שלה הוא 2: 162 ,54, 18, 6, 2. מספר איברי הסדרה הוא 5. מכאן שסכום הסדרה הוא :
Sn = a1 ᐧ (qn -1) / (q - 1) = 2 ᐧ (35 -1) / (3 - 1) = 2 ᐧ 242 / 2 = 242
דוגמאות תרגילים פתורים
תרגיל 1
נתונה סדרה הנדסית שבה האיבר השני שווה 54 והאיבר החמישי שווה 16. מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת המנה.
תרגיל 1
נתונה סדרה הנדסית שבה האיבר השני שווה 54 והאיבר החמישי שווה 16. מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת המנה.
פתרון תרגיל 1
נתון:
a2 = 54
a5 = 16
נדרש למצוא את a1 ו- q
a2 = 54
a5 = 16
a2 = a1 ᐧ q
a5 = a1 ᐧ q4
a5 / a2 = a1 ᐧ q4 / a1 ᐧ q = 16 / 54
q3 = 8 / 27
q = 2 / 3
a2 = a1 ᐧ q = a1 ᐧ 2 / 3 = 54
a1 = 81
תרגיל 2
סכום שלושת האברים הראשונים בסדרה הנדסית הוא 380. סכום שני האברים הראשונים גדול ב-20 מהאיבר השלישי. מצא את שלושת האברים הראשונים
פתרון תרגיל 2
נסמן את איברי הסדרה ב- a1 , a2 ,a3 ואת המנה q.
משוואה 1: סכום שלושת האיברים הראשונים בסדרה הוא 380 לכן: a1 + a2 + a3 = 380
ע"פ הגדרת סדרה הנדסית:
a2 = a1ᐧ q
a3 = a2ᐧ q = a2ᐧq²
לכן משוואות 1 ו -2 :
a1 + a1ᐧq + a1ᐧq² = 380
a1 + a1ᐧq = a1ᐧq² + 20
קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים, נפתור:
a1 + a1ᐧq + a1ᐧq² = 380
a1 + a1ᐧq = a1ᐧq² + 20
a1 + a1ᐧq + a1ᐧq² = 380
a1 + a1ᐧq - a1ᐧq² = 20
חיבור המשוואות
2a1 + 2a1ᐧq = 400
a1 + a1ᐧq = 200
a1ᐧ(1 + q) = 200
a1 = 200 / (1 + q)
הצבת a1 באחת המשוואות:
a1 + a1ᐧq - a1ᐧq² = 20
a1ᐧ(1 + q - q²) = 20
[200 / (1 + q)]ᐧ(1 + q - q²) = 20
200ᐧ(1 + q - q²) = 20(1 + q)
10ᐧ(1 + q - q²) = 1 + q
10 + 10q - 10q² = 1 + q
10q² - 9q - 9 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית, לכן יש שני פתרונות ל- q:
q1 = 1.5
q2 = -0.6
כלומר יש שתי אפשרויות לסדרה:
אפשרות אחת עם איבר ראשון 80 ומנה 1.5, כלומר:
אפשרות אחת עם איבר ראשון 80 ומנה 1.5, כלומר:
a1 = 80
q = 1.5
a2 = a1 ᐧ q = 80 ᐧ 1.5 = 120
a3 = a2 ᐧ q = 120 ᐧ 1.5 = 180
אפשרות שניה, סדרה עם מנה (0.6-) ואיבר ראשון 500:
q = -0.6
a1 = 500
a2 = 500 ᐧ (-0.6) = -300
a3 = -300 ᐧ (-0.6) = 180
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה