a1- האיבר הראשון בסדרה.
an - האיבר האחרון בסדרה.
n – מספר האיברים בסדרה.
n – מספר האיברים בסדרה.
d – הפרש הסדרה.
כפי שכבר מצאנו ניתן לחשב את האיבר ה- nי בסדרה בנוסחה: an = a1 + dᐧ(n-1)
סכום n איברים ראשונים בסדרה חשבונית נתון בנוסחאות:
Sn = n[(2a1 + dᐧ(n-1)] / 2
Sn = n[(2an - dᐧ(n-1)] / 2
Sn = n(a1 + an) / 2
הוכחת נוסחאות למציאת סכום n האיברים הראשונים בסדרה חשבונית
נוסחת סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית היא: Sn = n[(2a1 + dᐧ(n-1)] / 2
סכום n איברים של סדרה חשבונית הוא:
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an
נוסחת האיבר ה- n של סדרה חשבונית היא:
an = a1 + dᐧ(n-1)
נציב ונקבל:
Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + . . . + [a1 + (n-1)d] =
Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + . . . + (a1 + nd - d) =
Sn = nᐧa1 + d + 2d + (n-1)d =
Sn = nᐧa1 + dᐧ[1 + 2 + 3 ... (n-1)] =
השיוויון אפשר להגיע אליו בהיגיון או לקבל כנתון:
1 + 2 + 3 ... (n-1) = n(n-1)/2
Sn = nᐧa1 + dᐧnᐧ(n-1)/2 = 2nᐧa1/ 2+ dᐧnᐧ(n - 1)/2 = nᐧ[2a1 + dᐧ(n - 1)]/2
Sn = nᐧ[(2a1 + dᐧ(n-1)] / 2
מ.ש.ל
הנוסחה הראשונה היא : Sn = n(a1 + an ) / 2
נוכיח את נכונות הנוסחה על ידי שימוש בנוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית.
Sn = n[(2a1 + dᐧ(n-1)] / 2 = n[(a1 + a1 + dᐧ(n-1)] / 2 = n(a1 + an ) / 2
הנוסחה השניה היא : Sn = n[(2an - dᐧ(n-1)] / 2
Sn = n[(2an - dᐧ(n-1)] / 2
נוכיח את נכונות הנוסחה על ידי שימוש בנוסחת האיבר הקודמת ובנוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית.:
Sn = n(a1 + an) / 2 = n[(a1 + dᐧ(n-1) + an - dᐧ(n-1)] / 2 = n[(an + an - dᐧ(n-1)] / 2
Sn = n[(2an - dᐧ(n-1)] / 2
תרגיל - מציאת סכום סדרה חשבונית
נתונה לנו סדרה חשבונית:
-5 , -1 , 3 , ... , 39
מהו סכום הסדרה?
פתרון
הסדרה היא סדרה חשבונית שהפרשה d = 4 , איברה האחרון an = 39 , u , ואיברה הראשון a1 = -5.
לפי נוסחת האיבר הכללי נמצא כמה איברים יש בסדרה:
an = a1 + dᐧ(n-1)
39 - -5 + 4(n - 1)
39 = -5 + 4n - 4
39 = 4n - 9
4n = 48
n = 12
בסדרה יש 12 איברים.נמצא את סכום הסדרה לפי כל אחת מנוסחאות הסכום.
נתוני הסדרה:
d = 4
a1 = -5
an = 39
n = 12
סכום הסדרה לפי כל אחת משלושת הנוסחאות:
Sn = n[(2a1 + dᐧ(n-1)] / 2 = 12ᐧ[2 ᐧ (-5) + 4ᐧ(12 - 1)] / 2 = 12ᐧ(-10 + 4 ᐧ 11) / 2 = 12 ᐧ 34 / 2 = 204
Sn = n(a1 + an ) / 2 = 12(-5 + 39) / 2 = 12 * 34 / 2 = 204
Sn = n[(2an - dᐧ(n-1)] / 2 = 12[2 * 39 - 4(12 - 1)] / 2 = 12(78 - 4 * 11) /2 = 12(78 - 44) /2 = 12 * 34 / 2 = 204
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה