סכום סדרה חשבונית - נוסחאות, הוכחה, ודוגמא פתורה

נתונה סדרה חשבונית

a₁- האיבר הראשון בסדרה.

a_n - האיבר האחרון בסדרה.
n – מספר האיברים בסדרה.

d – הפרש הסדרה.

 
כפי שכבר מצאנו ניתן לחשב את האיבר ה- nי בסדרה בנוסחה:   a_n = a₁ + dᐧ(n-1)

 סכום n איברים ראשונים בסדרה חשבונית נתון בנוסחאות:

S_n =  n[(2a₁ + dᐧ(n-1)] / 2 

S_n =  n[(2a_n - dᐧ(n-1)] / 2 

S_n =  n(a₁  + a_n) / 2

הוכחת נוסחאות למציאת סכום n האיברים הראשונים בסדרה חשבונית

נוסחת סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית היא:  S_n =  n[(2a₁ + dᐧ(n-1)] / 2 

סכום n  איברים של סדרה חשבונית הוא:

S_n =  a₁ + a₂  + a₃  + . . . + a_n 

נוסחת האיבר ה- n של סדרה חשבונית היא: 

a_n = a₁ + dᐧ(n-1)

נציב ונקבל:

S_n =  a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + . . . + [a₁ + (n-1)d] =

S_n =  a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + . . . + (a₁ + nd - d) = 

S_n =  nᐧa₁  + d + 2d + (n-1)d = 

S_n =  nᐧa₁  + dᐧ[1 + 2 + 3 ... (n-1)] = 

השיוויון אפשר להגיע אליו בהיגיון או לקבל כנתון:

1 + 2 + 3 ... (n-1) = n(n-1)/2

S_n =   nᐧa₁  + dᐧnᐧ(n-1)/2 =  2nᐧa₁/ 2+ dᐧnᐧ(n - 1)/2 = nᐧ[2a₁ + dᐧ(n - 1)]/2

 S_n =  nᐧ[(2a₁ + dᐧ(n-1)] / 2 

מ.ש.ל

ישנן 2 נוסחאות נוספות שכדאי להכיר. אמנם אין להשתמש בהן ללא הוכחה, אך מכיוון שמדובר בהוכחה כל כך קצרה ופשוטה, חבל לוותר עליהן.

הנוסחה הראשונה היא :  S_n =  n(a₁  + a_n ) / 2 

נוכיח את נכונות הנוסחה על ידי שימוש בנוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית.

 S_n =  n[(2a₁ + dᐧ(n-1)] / 2 = n[(a₁ + a₁ + dᐧ(n-1)] / 2 = n(a₁  + a_n ) / 2

הנוסחה השניה היא :    S_n =  n[(2a_n - dᐧ(n-1)] / 2

 S_n =  n[(2a_n - dᐧ(n-1)] / 2 

נוכיח את נכונות הנוסחה על ידי שימוש בנוסחת האיבר הקודמת ובנוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית.:

S_n =  n(a₁  + a_n) / 2 = n[(a₁ + dᐧ(n-1) + a_n - dᐧ(n-1)] / 2 = n[(a_n + a_n - dᐧ(n-1)] / 2 

S_n =  n[(2a_n - dᐧ(n-1)] / 2 

תרגיל - מציאת סכום סדרה חשבונית

נתונה לנו סדרה חשבונית:

-5 , -1 , 3 , ... , 39

מהו סכום הסדרה?

פתרון

הסדרה היא סדרה חשבונית שהפרשה d = 4 , איברה האחרון a_n = 39 , u , ואיברה הראשון a₁ = -5.

לפי נוסחת האיבר הכללי נמצא כמה איברים יש בסדרה:

a_n = a₁ + dᐧ(n-1)

39 - -5 + 4(n - 1)

39 = -5 + 4n - 4

39 = 4n - 9

4n = 48

n = 12

בסדרה יש 12 איברים.

נמצא את סכום הסדרה לפי כל אחת מנוסחאות הסכום.

נתוני הסדרה:

d = 4

a₁ = -5

a_n = 39

n = 12

סכום הסדרה לפי כל אחת משלושת הנוסחאות:

 S_n =  n[(2a₁ + dᐧ(n-1)] / 2 = 12ᐧ[2 ᐧ (-5) + 4ᐧ(12 - 1)] / 2 = 12ᐧ(-10 + 4 ᐧ 11) / 2 = 12 ᐧ 34 / 2 = 204

S_n =  n(a₁  + a_n ) / 2 = 12(-5 + 39) / 2 = 12 * 34 / 2 = 204

 S_n =  n[(2a_n - dᐧ(n-1)] / 2 = 12[2 * 39 - 4(12 - 1)] / 2 = 12(78 - 4 * 11) /2 = 12(78 - 44) /2 =  12 * 34 / 2 = 204