מתי מתוק: חרוט ישר - שטח בסיס, מעטפת, נפח

חרוט, או חדודית, קרוי גם קוֹנוּס (מיוונית: κώνος) הוא גוף תלת-ממדי, המוגדר על ידי בסיס כלשהו, הקרוי ה"מכוון" של החרוט, ונקודה במרחב, שאינה שייכת לבסיס ("קדקוד החרוט"). החרוט מתקבל כאוסף כל הנקודות הנמצאות על קטעים ישרים הנמתחים בין הבסיס לקדקוד. עצם אשר צורתו כשל חרוט מתואר כ"חרוטי" או כ"קוני".

חרוט ישר

שטח מעטפת החרוט – rsπ

שטח בסיס החרוט - πr²

שטח פני החרוט - rsπ + πr²

h - גובה החרוט.

r - רדיוס בסיס החרוט.

π - קבוע (בקרוב 3.14)

חרוט ישר

גובה החרוט הוא הקטע המתחיל בקדקוד החרוט והמאונך למישור העובר דרך בסיסו. גם אורך הקטע מתואר בשם "גובה".

פעמים רבות משתמשים בשם "חרוט" או "חרוט ישר" לציון חרוט שבסיסו עיגול וגובהו עובר במרכז העיגול (הקדקוד נמצא בדיוק "מעל" מרכז המעגל). חרוט ישר מתקבל על ידי סיבוב משולש ישר-זווית סביב ציר (שמתלכד עם הגובה). חרוט עיגולי שצירו אינו מאונך לבסיסו קרוי חרוט משופע.

פני החרוט הם משטח ישרים.
הנפח $V$ של חרוט שגובהו $h$ ושטח בסיסו $S$ הוא $V=\tfrac{1}{3}Sh$ . בפרט הנפח של חרוט עיגולי שלבסיסו רדיוס $r$ הוא 1/3 מנפחו של גליל בעל אותם ממדים, כלומר $\ V = \tfrac{\pi}{3} r^2 h$ .

שטח פניו של חרוט עיגולי הוא $\ A = \pi r (r + s)$ , כאשר $s = \sqrt{r^2 + h^2}$ הוא "גובה השיפוע" של החרוט (לפי משפט פיתגורס). הביטוי הראשון בנוסחת השטח, $\pi r^2$ , הוא שטח בסיסו, והביטוי השני $\pi r s$ , הוא שטח פני הצד. פני שטחו = שטח הבסיס + שטח הצד.

דוגמא
נתון חרוט ישר שרדיוס בסיסו 5 = r ס"מ וגובהו 8 = h ס"מ. חשב את שטח בסיסו, גובה השיפוע, שטח פני הצד, שטח פניו ונפחו.

פתרון

שטח בסיס החרוט הוא שטח עיגול שרדיוסו r = 5 ס"מ, לכן:

שטח בסיס החרוט הוא 78.5 סמ"ר

גובה השיפוע s של חרוט ישר הוא אורך הקטע היוצא מקדקוד החרוט אל המעגל המקיף בסיסו וגודלו:
$s = \sqrt{r^2 + h^2}$ כאשר r הוא רדיוס בסיס החרוט ו- h גובה החרוט.

גובה השיפוע של החרוט הוא 9.43 ס"מ.

שטח פני הצד ST של החרוט הוא שטח המעטפת (ללא שטח הבסיס העגול) ושווה ל:

כאשר r רדיוס בסיס החרוט ו- s גובה השיפוע:

שטח פני צד החרוט הוא 148.05 סמ"ר.

שטח פני החרוט הוא סכום שטח הבסיס ושטח פני הצד: פני שטחו = שטח הבסיס + שטח הצד
פני שטחו = 78.5 + 148.05 = 226.55 סמ"ר

נפח החרוט הישר נתון בנוסחה: $\ V = \tfrac{\pi}{3} r^2 h$ (שטח בסיס החרוט כפול גובהו לחלק לשלוש)

לכן:

נפח החרוט הוא 209.33 סמ"ק

דפים

חרוט ישר - שטח בסיס, מעטפת, נפח

חרוט ישר

2 תגובות: