מלבן - הגדרה, תכונות, שטח והיקף

בגאומטריה, מלבן הוא מרובע שבו כל הזוויות ישרות. מלבן הוא מקרה פרטי של מקבילית ושל טרפז שווה-שוקיים. מלבן בעל זוג צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.
אורכו של המלבן מוגדר כאורך של צלע מזוג הצלעות הארוכות יותר, ורוחבו של המלבן מוגדר כאורך של צלע מזוג הצלעות הקצרות יותר.

מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות

תכונות המלבן

 
הצלעות הנגדיות של המלבן הן באותו אורך, ומקבילות זו לזו.
האלכסונים במלבן הם בעלי אותו אורך, ונקודת החיתוך שלהם מחלקת כל אלכסון לשני חלקים שווים.
כל מלבן ניתן לחסום במעגל, אך הוא איננו חוסם מעגל (אלא אם כן הוא ריבוע).
כל זוויותיו הפנימיות הן זוויות ישרות.

אם צלעות המלבן הן  a ו- b, אז:
היקף המלבן שווה לסכום אורכי צלעותיו:  P = 2a + 2b
שטח המלבן שווה למכפלת אורכו ברוחבו,  S = a ᐧ b .
אורכו של האלכסון במלבן ניתן לחישוב על פי משפט פיתגורס: .

דוגמא - מציאת שטח מלבן, היקפו ואלכסונו ע"פ אורכו ורוחבו

נתון מלבן שאורכו a שווה 4 יחידות, ורוחבו b שווה 3 יחידות.
מצא את שטח המלבן היקפו ואורך אלכסונו.

 היקף המלבן שנסמנו ב- P שווה לסכום אורכי צלעותיו:  

P = 2a + 2b = 2 ᐧ 4 + 2 ᐧ 3 = 8 + 6 = 14

כלומר היקף המלבן 14 יחידות

שטח המלבן שנסמנו ב- S שווה למכפלת אורכו ברוחבו:

S = a ᐧ b = 3 ᐧ 4 = 12

 שטח המלבן הוא 12 יחידות בריבוע (יחידת שטח היא בריבוע)

אורך אלכסון במלבן שנסמנו c ניתן לחישוב על פי משפט פיתגורס:
 
 אורך אלכסון המלבן הוא 5 יחידות

משיכת מסה על מישור עם חיכוך - החוק השלישי של ניוטון -- דוגמא פתורה

שאלה 2.14

 

 

הבול שבציור משקלו 50 קג"כ = w מקדם החיכוך הסטטי בינו לבין הרצפה האופקית הוא 0.4 ומקדם חיכוך החלקה (מקדם חיכוך דינמי) הוא 0.25.
הזוית 𝞱 היא בת 40 מעלות. הנח כי כל הכוחות אוחזים במרכז הבול.

א. ערוך תרשים כוחות של הבול והראה את כל הכוחות הפועלים על הבול (ולא שום כוחות אחרים)
ב. הבול נמצא במנוחה והכוח P הוא בן 15 קג"כ.  מצא את הכוח העלי הנורמלי N ואת כוח החיכוך fs שהרצפה מפעילה על הבול.
ג. אם נגדיל את הכוח P בהדרגה, באיזה ערך של P יעתק הבול ממקומו?
מהו הכוח הדרוש לקיים את תנועת הבול משהחל לנוע (האיש הולך אחורה עם תנועת הבול כך שהזוית טטה נותרת קבועה.

פתרון:

א. על הבול פועלים ארבעה כוחות:
- כוח הכובד או משקלו בגודל 50 קג"כ על הציר האנכי בכיוון מטה
- כוח תגובה - N (כוח עלי נורמלי) של המשטח לגוף על הציר האנכי בכיוון מעלה.
- כוח P או מתיחות בכבל וכוונו בזווית 𝞱 ביחס לכיוון החיובי של ציר ה- x
-  כוח חיכוך (סטטי או דינמי) נגד כיוון התנועה או כיוון שלילי של ציר x

להלן סקיצת כוחות הפועלים על הבול

דיאגרמת כוחות הפועלים על הבול

 

לפתרון הבעיה בונים משוואות תנועה של הגוף ביחס לציר האופקי x  וביחס לציר האנכי y . מאחר והבול במנוחה או בתנועה שוות מהירות סכום הכוחות הפועלים עליו בכל ציר הוא 0.
במקרה הנידון יש לפרק רק את הכוח P לכיוון ציר x וגודלו, Pᐧcos𝞱  ולכיוון ציר y וגודלו Pᐧsin𝞱.

משוואות הכוחות הפועלים על הבול בציר x  ובציר y:

N + Pᐧsin𝞱 = w

Pᐧcos𝞱 = Fs

ב. נציב נתוני השאלה עבור הכוח P שווה 15 קג"כ ונקבל שתי משוואות בשני נעלמים:



כוח התגובה N הוא כ- 40 קג"כ
וכוח החיכוך Fs הונו כ- 11.5 קג"כ

ג.  מגדילים את הכוח P בהדרגה עד שהבול מתחיל לנוע. גודלו של כוח החיכוך הסטטי אינו קבוע, משום שהוא תלוי בגודלו של הכוח החיצוני המופעל על הגוף, אולם הגוף נע כאשר:

משוואות המצב הסטטי ברגע תחילת תנועה:


נציב את הנתונים ונקבל:


נפתור:


הבול יתחיל לנוע כאשר הכוח P הוא 19.55 קג"כ

הכוח הדרוש לקיים את תנועת הבול משהחל לנוע
לאחר שהבול מתחיל לנוע מקדם החיכוך הוא הדינמי השווה 0.25 ונמוך יותר מהסטטי ולכן הכוח P הנדרש לתנועה נמוך יותר. נציב במשוואות התנועה מקדם חיכוך 0.25 ונפתור אותן:

 



 הכוח הדרוש לקיים את תנועת הבול משהחל לנוע הוא 13.5 קג"כ

פיסיקה - מכניקה - החוק ה- 3 של ניוטון - תרגיל פתור

שאלה 

 מצא את המתיחות בכל כבל, ואת גודלו וכיוונו של הכוח שהציר מפעיל על הסמוכה (קורה) בציור. גודלו של המשא (משקולת) הוא 500 קג"כ.

פתרון:

הקורה מחוברת בצד אחד לקיר באמצעות הציר, ובצד השני לכבלים.
הציר מפעיל כוח בכיוון הקורה בלבד שאילולא כן הקורה היתה מסתובבת סביב צירה עקב כוחות היוצרים מומנט סיבוב.

נסמן את קצה הקורה המחובר לכבלים באות A ונשרטט דיאגרמת כוחות סביב נקודה A.

דיאגרמת כוחות סביב נקודה A

נסמן את כוח המתיחות בכבל מחובר לקיר ב- Fc
המתיחות בכבל מחובר למשקולת ב-  קג"כ Fm = 500
ואת המתיחות בקורה ב- Fk

דיאגרמת כוחות לפי צירים

מאחר ונקודה A במצב מנוחה, סכום הכוחות הפועלים על נקודה A הוא 0. נשווה כוחות בציר x (ציר אופקי) וציר y (ציר אנכי)


נציב Fm = 500

ונקבל



המתיחות בכבל המחובר לקיר היא קג"כ Fc = 1000

נחשב את הכוח המתיחות בקורה Fk:

 

וזהו גם הכוח הפועל על הציר המחבר את הקורה לקיר.