מספרים ממשיים, אי שיוויונים וקבוצות

במתמטיקה, מספר ממשי הוא מספר הנכלל בשדה המספרים הממשיים, כמו 3.2 , 1/3 , 1.6- או . אינטואיטיבית, המספרים הממשיים החיוביים הם האורכים האפשריים של קטעים על ישר אינסופי (הקרוי, לפיכך, הישר הממשי). אורכה של הנקודה קרוי אפס, ולכל מספר חיובי מתאים גם מספר שלילי באותו גודל, המודד את אותו קטע, כביכול, בכיוון ההפוך.

לאחר שקובעים את אורכה של יחידה המידה היסודית, האורך של מספר יחידות כאלה נקרא מספר שלם. מספר ממשי שאפשר לבטא כיחס בין שני מספרים שלמים הוא מספר רציונלי, אך רוב המספרים הממשיים אינם כאלה - עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים היא עוצמת הרצף, ואילו אוסף המספרים הרציונליים הוא בן-מניה. המספרים הממשיים שאינם רציונליים, כגון שורש 2, פאי או e, נקראים אי-רציונליים.

 המספרים הממשיים מיוצגים בצורה גיאומטרית כנקודות על ציר מספרים  בנקרא הישר הממשי:

ישר ממשי - ייצוג גיאומטרי של מספרים ממשיים
ישר ממשי - ייצוג גיאומטרי של מספרים ממשיים

חוקי אי שיוויון:

אם a , b ו- c מספרים ממשיים אזי:

1.  אם a < b אז:   a + c < b + c
2.  אם a < b אז:   a - c < b - c
3.  אם a < b ו- c > 0 אז:   ac < bc
4.  אם a < b ו- c < 0 אז:   ac > bc מקרה מיוחד: אם a < b אז  a > -b-

5. אם a > 0 אז




6. אם a, b שניהם חיוביים או שניהם שליליים אז: אם a < b אז
 

אנחנו מבחינים בשלשה תתי קבוצות של מספרים ממשיים:

1. מספרים טבעיים: 1,2,3,4,5..

2. מספרים שלמים:

3. מספרים רציונלים:

המספרים הרציונלים מייצגים את המספרים הממשיים עם הרחבה עשרונית בשני אופנים:
1. הרחבה עשרונית סופית לדוגמא:  3/4 = 0.75
2. הרחבה עשרונית החוזרת על עצמה, לדוגמא:  23/11 =...2.090909090

מספרים אי רציונלים - ישנם מספרים על הציר הממשי שאינם רציונלים. לדוגמא לא קיים מספר רציונלי שהריבוע שלו הוא 2. מספרים ממשיים שאינם רציונלים נקראים מספרים אי רציונלים. הם מאופינים בהרחבה עשרונית אינסופית שאינה חוזרת על עצמה. דוגמאות למספרים אי רציונלים: 

קבוצות

סימון בעזרת קבוצות מאוד שימושי לתאר תת קבוצה מסוימת מהמספרים הממשיים. הקבוצה היא אוסף של אוביקטים הנקראים אלמנטים של הקבוצה.

סימולים לקבוצות:

אם S היא קבוצה הסימול    מציין כי a הוא אלמנט ב- S
 ו-      מציין כי a אינו אלמנט ב- S

אם S ו- T הן קבוצות אזי הקבוצה היא האיחוד שלהן ומכילה את כל האלמנטים שב- S וב- T.
החיתוך היא קבוצה המכילה אלמנטים השייכים גם ל- S וגם ל- T.

הקבוצה הריקה היא קבוצה שאינה מכילה אלמנטים כלל. דוגמא לקבוצה ריקה היא החיתוך בין קבוצת המספרים הרציונלים לקבוצת המספרים האי רציונלים.

ניתן לתאר קבוצה באמצעות האיברים שלה. לדוגמה קבוצת מספרים טבעיים קטנים מ- 5 מתוארת כך: 

קבוצת המספרים השלמים מתוארת כך:

דרך  נוספת לתאר קבוצה היא  לתאר את הקבוצה בתוך סוגריים לדוגמא:
תאור זה הוא קבוצת מספרים טבעיים הקטנים מ- 6
תאור זה הוא קבוצת מספרים טבעיים הקטנים מ- 6.

אין תגובות:

פרסום תגובה