נתונה סדרה הנדסית עולה:
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 .... an , ...
ההפרש בין האיבר הרביעי בסדרה לאיבר השלישי, גדול פי 4 מההפרש בין האיבר השני לאיבר הראשון.
האיבר השישי בסדרה גדול ב- 31 מהאיבר הראשון.
א. מצא את מנת הסדרה , ואת האיבר הראשון בסדרה.
ב. מהסדרה הנתונה בנו שתי סדרות חדשות, I ו - II:
I : a1ᐧ a2 , a2ᐧ a3 , a3ᐧ a4 , . . . anᐧ an+1 , an+1ᐧ an+2
II : a2/a1 + a3/a2 , a3/a2 + a4/a3 , a4/a3 + a5/a4 , . . . , an+1/an + an+2/an+1
(1) האם כל אחת מהסדרות החדשות היא סדרה הנדסית עולה? נמק.
הסכום של כל האיברים בסדרה I הוא 2730.
(2) מצא את מספר האיברים בסדרה I.
(3) מצא את נכון כל האיברים בסדרה II.
סדרה הנדסית היא סדרה של מספרים, שהמנה של כל שני איברים עוקבים (או היחס בין כל שני איברים סמוכים) היא קבועה. נסמן את האיבר הראשון ב- a1 והמנה בין שני איברים עוקבים ב- q.
ע"פ נתוני השאלה ההפרש בין האיבר הרביעי בסדרה לשלישי גדול פי 4 מההפרש בין האיבר השני לראשון, כלומר:
a4 - a3 = 4(a2 - a1)
האיבר ה- n י של סדרה הנדסית נתון בנוסחה: an = a1 ᐧ qn-1
לכן : (1) a1q³ - a1q² = 4(a1q - a1)
בנוסף נתון כי האיבר השישי גדול ב- 31 מהאיבר הראשון, כלומר: a6 - a1 = 31
לכן : (2) a1q5 - a1 = 31
משוואות 1,2 הן 2 משוואות עם 2 נעלמים a1 , q , (האיבר הראשון בסדרה ומנתה).
פתרון סעיף א
למציאת מנת הסדרה q נפשט משוואה 1 ונפתור:
פתרון סעיף א
למציאת מנת הסדרה q נפשט משוואה 1 ונפתור:
a1q³ - a1q² = 4(a1q - a1)
a1q²(q - 1) = 4a1(q - 1)
q² = 4
q = 2
מנת הסדרה היא q = 2.
במהלך הפתרון שללנו אפשרות כי q = 1 מאחר וזוהי סדרה הנדסית עולה ולכן צמצמנו את הביטוי q=1, מאותה סיבה שללנו הפתרון q = -2.
נציב את q במשוואה 2 ונמצא את a1:
האיבר הראשון בסדרה a1 = 1
פתרון סעיף ב
במהלך הפתרון שללנו אפשרות כי q = 1 מאחר וזוהי סדרה הנדסית עולה ולכן צמצמנו את הביטוי q=1, מאותה סיבה שללנו הפתרון q = -2.
נציב את q במשוואה 2 ונמצא את a1:
האיבר הראשון בסדרה a1 = 1
פתרון סעיף ב
(1) בדיקה האם אחת מכל הסדרות החדשות היא סדרה הנדסית עולה
בדיקת הסדרה I :
נסמן ב- An את האיבר ה- nי של הסדרה החדשה הראשונה, A1 האיבר הראשון ו- Q המנה, ונחשב אותם:
האיבר ה- nי של הסדרה I הינו:
כאשר an הוא האיבר ה- nי של הסדרה ההנדסית העולה הנתונה בשאלה ושווה ל- an = a1 ᐧ qn-1
נחשב את An כפונקציה של a1 , q:
אך
לכן הסדרה I היא סדרה הנדסית שאיברה הראשון, האיבר ה- nי שלה ומנתה הם:
האיבר הראשון בסדרה הוא A1 = 2
הסדרה היא עולה מאחר ומנתה Q גדולה מ- 0 :
בדיקת הסדרה II:
נפתור לפי אותה שיטה כפי שבדקנו הסדרה I:
נסמן ב- An את האיבר ה- nי של הסדרה הראשונה A האיבר הראשון ו- Q המנה, ונחשב אותם:
האיבר ה- nי של הסדרה I הינו:
כאשר an הוא האיבר ה- nי של הסדרה ההנדסית העולה הנתונה בשאלה ושווה ל- an= a1 ᐧ qn-1
נחשב את An כפונקציה של a1 , q:
הסדרה II היא סדרה קבועה שכל איבריה שווים 4
(2) מספר האיברים בסדרה I
נתון כי סכום n האיברים בסדרה I שווה 2730.
האיבר הראשון בסדרה הראשונה הוא: A1 = 2 ומנתה Q = 4
סכום סדרה הנדסית נתון בנוסחה: Sn = a1 ᐧ (qn - 1) / (q - 1)
2730 = 2 ᐧ (4n -1) / (4 -1)
2730 = 2 ᐧ (4n -1) / 3
3 ᐧ 2730 / 2 = 4n -1
4n -1 = 4095
4n = 4094
n = 6
מספר האיברים בסדרה הראשונה הוא 6
(3) סכום כל האיברים בסדרה II
(3) סכום כל האיברים בסדרה II
הסדרה השניה היא סדרה קבועה שכל אחד מאיבריה שווה 4, לכן סכום n איבריה הוא 4n
איך אני מוצאת את הn של הסדרה ההנדסית?
השבמחק