הוכח: משיק למעגל מאונך לרדיוס העובר בנקודת ההשקה

נתון:

מעגל O
ישר a משיק למעגל O בנקודה A.

מעגל O , רדיוס OA, ומשיק a למעגל בנקודה A

 

 צריך להוכיח: 

OA (רדיוס ממרכז המעגל לנקודת ההשקה) מאונך לישר a

הוכחה

נבנה אנך מנקודה O לישר בנקודה B. נקבל משולש OAB ישר זוית (בנקודה B), ונוכיח שיש סתירה לוגית בבניית העזר.

ב.ע
בונים אנך ממרכז המעגל O לישר a בנקודה B שונה מנקודה A

בניית עזר - אנך ממרכז המעגל O לישר a בנקודה B (סתירה לוגית)

1: OB מאונך ל- AB - נובע מבניית העזר

2: משולש ABC  ישר זוית - נובע מ- 1 (זוית ABO היא הזוית הישרה)

3: AO > BO - היתר (AO ) במשולש ישר זוית ( ABO ) הוא הצלע הגדולה במשולש

4: נקודה B נמצאת מחוץ למעגל O - נובע מהגדרת המשיק בעל נקודה משותפת אחת (נקודה A)  עם המעגל ושאר הנקודות מחוץ למעגל.

5: BO > AO - רדיוס המעגל AO קטן מכל קטע המחבר נקודה מחוץ למעגל עם מרכזו.

מכאן סתירה בין סעיפים 3,5 כלומר לא תיתכן נקודה B שונה  מנקודה A כך ש- OB מאונך ל- a לכן רק OA מאונך ל- a.

מ.ש.ל