יחס שיפועי ישרים מאונכים במערכת צירים

נתון:

ישר L1 שיוצר זוית  𝜶 עם מערכת צירים, וישר L2 מאונך לישר L1 ויוצר זוית β עם מערכת הצירים.

 

 ישרים מאונכים במערכת צירים

צריך למצוא

יחס השיפועים בין שני הישרים.

פתרון

ע"פ הגדרת השיפוע, שיפוע ישר L1 הוא:  tan(𝜶)
ושיפוע ישר L2 הוא: tan(β)

לכן כדי למצוא את יחס שיפועי הישרים נמצא את הקשר בין   tan(𝜶) ל- tan(β) .

 β = 𝜶 + 90° - ניתן לראות מהסקיצה מאחר והישרים מאונכים.

β = 𝜶 + 90°

tan(β) = tan(𝜶 + 90°) = -tan(180° - 𝜶 - 90°) = -tan(90° - 𝜶) = -cot(𝜶) = -1 / tan(𝜶)

tan(β) = -1 / tan(𝜶)

לסיכום:
במערכת צירים שיפוע הישר המאונך לישר בעל שיפוע m הוא :  

-1 / m

 מכאן מכפלת שיפועים של שני ישרים מאונכים היא 1-.

דוגמא:

הוכח כי הישר 2x + 3y =1 והישר 6x -4y -1 =0 מאונכים זה לזה.

פתרון:

נציג כל אחד מהישרים בצורה y = ax +b ונבדוק כי השיפועים a1 , a2 של הישרים מקיימים: a1 * a2 = -1

הישר 2x + 3y =1

3y = -2x + 1

y = (-2/3)x + 1 / 3

שיפוע ישר ראשון הוא:  2/3- .

הישר 6x - 4y -1 = 0

6x - 4y - 1 = 0

-4y = -6x + 1

y = (3/2)x - 1/4

שיפוע הישר השני הוא 3/2

מכפלת שיפועי הישרים: 

(-2 / 3) * 3 / 2 = -1

מכפלת שיפועי הישרים שווה 1- ולכן הישרים מאונכים זה לזה.