חקירת פונקציות שורש - תרגיל פתור

תרגיל מספר 1

נתונה הפונקציה:

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה
ב. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן
ג. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים
ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה

פתרון תרגיל 1

א. תחום הגדרה
על מנת שהפונקציה תהיה מוגדרת הביטוי בשורש חייב להיות גדול או שווה ל- 0 . שורש של מספר שלילי לא מוגדר. לכן תחום ההגדרה:

נפתח ונפתור:


ב. נקודות קיצון של הפונקציה
למציאת נקודת קיצון של פונקציה אנו משווים את הנגזרת הראשונה שלה ל- 0 . ערכי x, y המתקבלים הם נקודות הקיצון.





ערכי y עבור נקודות קיצון אלה:
 
 ניתן לראןת כי ערך y הוא 2.
 לכן נקודות הקיצון הן:
(1.414,2) - מקסימום
(1.414,2-) - מינימום




ג. נקודות חיתוך עם הצירים.
למציאת נקודות חיתוך עם ציר x משווים את y ל-0 ופותרים
למציאת נקודות חיתוך עם ציר y משווים את x ל-0 ופותרים


נקודות חיתוך עם ציר x כאשר y=0:

קיבלנו 3 נקודות חיתוך עם ציר x:
(0,0) , (2,0) , (2,0-)

נקודות חיתוך עם ציר y כאשר x=0:

קיבלנו נקודת חיתוך אחת כמקודם:
(0,0)

לסיכום ישנן שלש נקודות חיתוך עם הצירים:
(0,0) , (2,0) , (2,0-)

ד. סקיצה
לפנינו פונקציה עם נקודות קיצון:
(1.414,2) - מקסימום
(1.414,2-) - מינימום

ונקודות חיתוך עם הצירים:
(0,0) , (2,0) , (2,0-)

לכן הסקיצה:

להלן גרף הפונקציה מתוכנת maxima:

plot2d (x*sqrt(4-x^2), [x, -2, 2])$