הוכחת נוסחת מספר אלכסונים במצולע בדרך האינדוקציה

הוכח בדרך האינדוקציה כי מספר האלכסונים D במצולע (קמור) בעל n צלעות הוא:


הוכחה:
נתחיל מבדיקת הנוסחה עבור מרובע שהוא מצולע בעל מספר צלעות הנמוך ביותר שיש לו אלכסונים.
למרובע 4 צלעות n = 4 ושני אלכסונים  D = 2
למרובע שני אלכסונים
למרובע שני אלכסונים

נבדוק:

הבדיקה הצליחה.

נניח שעבור n = k מספר האלכסונים במצולע הוא :


צריך להוכיח שעבור n = k+1 מספר האלכסונים הוא:


1

נדמיין מצולע בעל k צלעות ו- k קודקודים בעל D אלכסונים. אם נוסיף קודקוד נוסף נקבל מצולע חדש (בעל k+1 קודקודים, צלעות) עם אותם אלכסונים ועוד k-1 אלכסונים נוספים שנוצרו עקב הקודקוד החדש.

הקודקוד החדש יוצר k-2 אלכסונים חדשים עם קודקודים שאינם סמוכים לו ועוד אלכסון שנוצר מצלע שהפכה לאלכסון.

לדוגמא - הוספת קודקוד למרובע והפיכתו למחומש:
 המחומש להלן הוא כמו המרובע לעיל בתוספת קודקוד C. נוצרו 2 אלכסונים מחיבור C עם 2 קודקודים שאינם סמוכים ל- C ועוד אלכסון מצלע AB שהפכה לאלכסון סה"כ נוצרו 4-1 = 3 אלכסונים.
מחומש  - 5 אלכסונים

לכן מספר האלכסונים במצולע בעל k+1 קודקודים (צלעות):


וזה מה שנדרשנו להוכיח באינדוקציה ב- 1 לעיל.

אין תגובות:

פרסום תגובה