סדרה חשבונית - מציאת איבר ראשון, הפרש וסכום - מבגרות מתמטיקה 3 יחידות 2018

מתוך מבחן בגרות במתמטיקה 3 יחידות קיץ 2018

שאלה 3

בסדרה חשבונית האיבר השני הוא 4 והאיבר הרביעי הוא 10.

א. מהו הפרש הסדרה? נמק
ב. מהו האיבר הראשון בסדרה? נמק
ג. חשב את סכום 19 האיברים הראשונים בסדרה.

פתרון סעיפים א, ב

פתרון:

נתון:
הסדרה חשבונית.
האיבר השני הוא 4, כלומר : a₂ = 4
האיבר הרביעי הוא 10 לכן: a₄ = 10

נסמן ב- d את הפרש הסידרה וב- a₁ את האיבר הראשון.

בסידרה חשבונית האיבר ה- nי נתון בנוסחה:

a_n  = a₁ + d(n-1)

נציב בנוסחה האיברים השני והרביעי ונקבל:

a₂ = 4 = a₁ + d(2 - 1)

a₄ = 10 = a₁ + d(4 - 1)

כלומר
a₁ + d= 4
a₁ + 3d = 10

קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, נפתור:

 4 = a₁ + d(2 - 1)

10 = a₁ + d(4 - 1)

 4 = a₁ + d

10 = a₁ + 3d

4 - d = 10 - 3d

2d = 6

d = 3

a₁ =  4 - d = 1

a₁ = 1

 הפרש הסידרה הוא 3, והאיבר הראשון הוא 1

פתרון סעיף ג

נדרש למצוא סכום 19 המספרים הראשונים בסדרה החשבונית.
סכום n איברים ראשונים בסדרה חשבונית נתון ע"י הנוסחה:

S_n = n[2a₁ + d(n - 1)] / 2

כאשר a₁ הוא האיבר הראשון בסדרה ו- d הוא הפרש הסדרה.
במקרה השאלה: a₁ = 1 , d = 3
נציב בנוסחת סכום האיברים בסדרה חשבונית ונקבל:

_S19 = 19[2ᐧ1 + 3(19 - 1)] / 2

_S19 = 19(2 + 54) / 2

_S19 = 19 ᐧ 56 / 2

_S19 = 532

סכום 19 האיברים הראשונית בסדרה הוא 532