נתונה הפונקציה f(x) = sin²x + 6 בתחום 𝝅 ≤ x ≤ 𝝅-
א. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).
ב. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה ( f(x , וקבע את סוגן.
ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה (f(x.
ד. (1) סרטט במערכת צירים נפרדת סקיצה של גרף הנגזרת ( f'(x בתחום ᱐ ≤ x ≤ 𝝅.
(2) חשב את השטח שבין גרף הנגזרת f'(x) ובין ציר ה- x בתחום 2/᱐ ≤ x ≤ 𝝅.
נתונה הפונקציה f(x) = sin²x + 6 בתחום 𝝅 ≤ x ≤ 𝝅-
א. נקודות חיתוך עם הצירים
נקודת חיתוך עם ציר x
לפונקציה f(x) אין נקודות חיתוך עם ציר x מאחר ו- f(x) אינה יכולה להיות שווה ל- 0.
בדיקה:
f(x) = 0
sin²x + 6 = 0
sin²x = - 6
אין פתרון למשוואה sin²x = - 6 לכן f(x) אינה יכולה להיות שווה ל- 0, ולכן אין ל- f(x) נקודות חיתוך עם ציר x.
נקודות חיתוך עם ציר y
נקודות חיתוך עם ציר y כאשר x = 0
f(0) = sin²0 + 6 = 6
נקודת חיתוך עם ציר y :
(6, 0)
ב. שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה ( f(x , וסוגן
נקודות קיצון של f(x) כאשר f'(x) = 0
f '(x) = 2 ᐧ sin(x) ᐧ cos(x) = 0
sin(2x) = 0
מאחר והתחום הוא : 𝝅 ≤ x ≤ 𝝅-
אזי :
sin(2x) = 0
2x = ± 𝝅k
x = ± 𝝅k/2
x = 0, ± 𝝅/2 , ± 𝝅
סוגי נקודות הקיצון בתחום 𝝅 ≤ x ≤ 𝝅- .
בודקים את ערכו של f''(x) בנקודת קיצון x כלשהי.
אם f''(x) > 0 אזי נקודת הקיצון היא מינימום.
אם f''(x) < 0 , אזי נקודת הקיצון היא מקסימום.
f '(x) = sin(x)
f ''(x) = 2cos(2x)
נקודת קיצון x = | ערך f ”(x) | מינימום / מקסימום | f(x) = sin²x + 6 |
0 | 2 > 0 | מינימום | 6 |
± 𝝅/2 | 2- < 0 | מקסימום | 7 |
± 𝝅 | 2 > 0 | מינימום | 6 |
נקודות קיצון x = 0, ± 𝝅 הן נקודות מינימום.
נקודות קיצון 2/x = 0, ± 𝝅 הן נקודות מקסימום.
נקודות מינימום: (6 , 0) , (6, 𝝅) , (𝝅, 6-)
נקודות מקסימום: (7, 2/𝝅) , (𝝅/2 , 7-)
ג. סקיצה גרף הפונקציה f(x)
 |
| סקיצה גרף הפונקציה f(x) |
ד. (1). סקיצה של גרף הנגזרת ( f '(x בתחום ᱐ ≤ x ≤ 𝝅
 |
| סקיצה של גרף הנגזרת ( f '(x בתחום ᱐ ≤ x ≤ 𝝅 |
ד.(2). שטח שבין גרף הנגזרת f'(x) ובין ציר ה- x בתחום 2/᱐ ≤ x ≤ 𝝅
𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2
S = ∫ f '(x) = f(x) ] = [sin²x + 6] = [sin²(𝝅/2) + 6] - (sin²0 + 6) = 1
0 0 0
S = 1
שטח שבין גרף הנגזרת f'(x) ובין ציר ה- x בתחום 2/᱐ ≤ x ≤ 𝝅 שווה 1.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה