החוק השני של ניוטון - כוח משתנה כפונקציה של הזמן מופעל על גוף

שאלה

 

 גוף כלשהו בעל מסה m נמצא במצב מנוחה בשיווי משקל בראשית הצירים.

בזמן  t = 0  מופעל על הגוף כוח  F(t) שרכיביו: (ההדגשה של האות F מציינת כי מדובר בוקטור)

Fx(t) = K1 +K2y

 Fy(t) = K3 * t

כאשר K1 , K2 , K3 הם קבועים.

מצא את המיקום של הגוף בזמן r(t) ואת מהירות הגוף בזמן v(t).

פתרון

גוף בעל מסה $m$ נמצא במנוחה בראשית הצירים ($r(0)=(0,0)$, $v(0)=(0,0)$). בזמן $t=0$ מופעל כוח בעל רכיבים: $F_x(t)=K_1+K_2\,y(t)$, $F_y(t)=K_3\,t$. נדרש למצוא את $r(t)$ ואת $v(t)$, ולבדוק את התוצאה.

1) התחלה: חוק שני של ניוטון

$F = m a \;\Rightarrow\; a_x(t)=\dfrac{K_1+K_2\,y(t)}{m}, \qquad a_y(t)=\dfrac{K_3}{m}\,t.$

2) ציר $y$ — אינטגרציה כפולה

א. תאוצה: $a_y(t)=\dfrac{K_3}{m}\,t$

ב. מהירות (אינטגרציה): $v_y(t)=\int a_y\,dt=\dfrac{K_3}{2m}t^2 + C_1$. מתנאי ההתחלה $v_y(0)=0 \Rightarrow C_1=0$.

ג. מיקום (עוד אינטגרציה): $y(t)=\int v_y\,dt=\dfrac{K_3}{6m}t^3 + C_2$. ומתנאי ההתחלה $y(0)=0 \Rightarrow C_2=0$.

תוצאה בציר $y$: $v_y(t)=\dfrac{K_3}{2m}t^2,\qquad y(t)=\dfrac{K_3}{6m}t^3.$

3) ציר $x$ — תלוי ב־$y(t)$

א. תאוצה: $a_x(t)=\dfrac{K_1+K_2\,y(t)}{m}=\dfrac{K_1}{m}+\dfrac{K_2}{m}\cdot \dfrac{K_3}{6m}t^3 =\dfrac{K_1}{m}+\dfrac{K_2K_3}{6m^2}t^3$.

ב. מהירות: $v_x(t)=\int a_x\,dt=\dfrac{K_1}{m}t+\dfrac{K_2K_3}{24m^2}t^4 + C_3$. מתנאי ההתחלה $v_x(0)=0 \Rightarrow C_3=0$.

ג. מיקום: $x(t)=\int v_x\,dt=\dfrac{K_1}{2m}t^2+\dfrac{K_2K_3}{120m^2}t^5 + C_4$. ומתנאי ההתחלה $x(0)=0 \Rightarrow C_4=0$.

תוצאה בציר $x$: $v_x(t)=\dfrac{K_1}{m}t+\dfrac{K_2K_3}{24m^2}t^4,\quad x(t)=\dfrac{K_1}{2m}t^2+\dfrac{K_2K_3}{120m^2}t^5.$

4) תשובה מסכמת

וקטור המהירות: $v(t)=\left(\dfrac{K_1}{m}t+\dfrac{K_2K_3}{24m^2}t^4\;,\;\dfrac{K_3}{2m}t^2\right)$

וקטור המיקום: $r(t)=\left(\dfrac{K_1}{2m}t^2+\dfrac{K_2K_3}{120m^2}t^5\;,\;\dfrac{K_3}{6m}t^3\right)$

5) בדיקת נכונות — שלב אחרי שלב

א) מהירות היא נגזרת של מיקום

נגזור את $r(t)$:

$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{K_1}{2m}t^2+\dfrac{K_2K_3}{120m^2}t^5\right) =\dfrac{K_1}{m}t+\dfrac{K_2K_3}{24m^2}t^4,$
$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{K_3}{6m}t^3\right)=\dfrac{K_3}{2m}t^2.$

קיבלנו בדיוק את $v_x(t)$ ו־$v_y(t)$ — מעולה.

ב) תאוצה היא נגזרת של מהירות

נגזור את $v(t)$:

$a_x(t)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{K_1}{m}t+\dfrac{K_2K_3}{24m^2}t^4\right)=\dfrac{K_1}{m}+\dfrac{K_2K_3}{6m^2}t^3,$
$a_y(t)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{K_3}{2m}t^2\right)=\dfrac{K_3}{m}t.$

ג) התאוצה מתאימה לכוח הנתון

לפי הנתון: $a_x(t)=\dfrac{K_1+K_2\,y(t)}{m}$, $a_y(t)=\dfrac{K_3}{m}t$. נציב $y(t)=\dfrac{K_3}{6m}t^3$:

$a_x(t)=\dfrac{K_1}{m}+\dfrac{K_2}{m}\cdot \dfrac{K_3}{6m}t^3 =\dfrac{K_1}{m}+\dfrac{K_2K_3}{6m^2}t^3,$

בדיוק מה שקיבלנו מהנגזרת — הבדיקה תקינה.

סיכום: גזירות חוזרות מאשרות ש־$r(t)$ ו־$v(t)$ שמצאנו עקביים עם חוקי התנועה ועם הכוח הנתון. כל תנאי ההתחלה מתקיימים.