התת קבוצה (x ,y, z) המקיימת x=y , 2y=z היא תת מרחב מעל R^3

שאלה

הראה שהקבוצות הבאות מעל R³  פורסות תתי מרחבים.

התת קבוצה (x, y, z) = W כך ש: x = y , 2y = z.

פתרון

נבדוק את שלש הבדיקות:

1. W סגורה ביחס לחיבור. כלומר שלכל w ∋סu1, u2  מתקיים u1 + u2 ∈ w.

u1 = (x1 , y1 , z1)
u2 = (x2 , y2 , z2)

נבדוק האם u1 + u2 ∈ w.

u1 + u2 = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2)

מאחר ובתת קבוצה W מתקיים x1 = y1 , x2 = y2, אזי : x1 + x2 = y1 + y2

מאחר ובתת קבוצה W מתקיים 2y1 = z1  , 2y2 = z2 , אזי :

2(y1 + y2) = z1 + z2

 לכן:  u1 + u2 ∈ w.

2.  W סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר שלכל w ∋סu מתקיים cu ∈ w, כאשר c ∈ F.

cu = c(x , y , z) = (cx , cy , cz)

מאחר ובתת קבוצה W מתקיים x = y , 2y = z נובע כי:

cx = cy

2cy = cz

לכן cu ∈ w.

3. וקטור האפס שייך ל- W

נבדוק האם הוקטור Wב∋ (0 , 0, 0) 

בוקטור האפס  x = 0, y = 0, z = 0 ואלו אכן מקיימים את תת קבוצה W, כלומר  x = y , 2y = z.

לכן Wב∋ (0 , 0, 0) 

מ.ש.ל