בעיית מהירות - מתוך בגרות מתמטיקה 5 יחידות קיץ מועד א 2009

שאלה

רוכב אופניים יצא בשעה 00 : 08 מעיר A , ורוכב אופניים שני יצא בשעה 00 : 09 מעיר A .

כל אחד מהרוכבים רכב במהירות קבועה לעיר B .
המרחק בין A ל- B הוא 45 ק"מ.

כאשר הרוכב הראשון הגיע לעיר B , הרוכב השני עדיין לא הגיע לעיר B והיה במרחק של 25 ק"מ ממנה.

מהירות הרוכב הראשון גדולה ב- m קמ"ש ממהירות הרוכב השני, וידוע כי 5 > m וכן m > 0.

א. הבע באמצעות m את שני הפתרונות האפשריים למהירות הרוכב השני.

ב. נסמן את שני הפתרונות שהבעת בסעיף א' ב- x1 וב- x2 .

מצא עבור אילו ערכי m מתקיים11 < |x1−x2|.


פתרון

א. מבוקשים שני פתרונות עבור מהירות הרוכב השני, לכן נסמן מהירות הרוכב השני v.

בנקודת הזמן שבה הרוכב הראשון הגיע לעיר B והרוכב השני היה במרחק 25 ק״מ ממנה, כלומר עבר 20 ק״מ בלבד:

רוכב	מהירות	דרך	זמן
רוכב 1	v +m	45	(v+m) / 45
רוכב 2	v	20	(v) / 20

הרוכב השני יצא שעה אחרי הרוכב הראשון ונסע שעה פחות ממנו לכן:

45 / (v + m) - 20 / v = 1

נפתח:

45 ᐧ v - 20 ᐧ (v + m) = v(v + m)

45v - 20v - 20m = v² + vᐧm

25v = v² + vᐧm +20m

v² + v(m - 25) + 20m = 0

קיבלנו משוואה ריבועית שבה v הוא ארגומנט (משתנה) ו- m הוא פרמטר.

v 1, 2 = ((25 - m) ± sqrt((m-25)² - 4ᐧ20m)))/2

v1,2 = ( 25 - m ± sqrt( m² -50m + 625 -80m))/2

שני הפתרונות האפשריים למהירות הרוכב השני מובעים באמצעות m :

v1,2 = ( 25 - m ± sqrt( m² -130m + 625 ))/2

ב.

נסמן:

x1 = v1 = ( 25 - m + sqrt( m² -130m + 625 ))/2

x2 = v2 = ( 25 - m - sqrt( m² -130m + 625 ))/2

|x1 - x2| = sqrt( m² -130m + 625 )

|x1 - x2| > 11

sqrt( m² -130m + 625 ) > 121

m² -130m + 625 > 121

m² - 130m + 504 > 0

פתרונות המשוואה הם:

m1 = 4

m2 = 126

מאחר ו- m< 5 הפתרון m = 126 נפסל.

לכן כדי שהביטוי m² - 130m + 504 יהיה גדול מ- 0 נדרש כי m < 4 .

לכן ערכי m שעבורם x1 - x2| > 11| הם m < 4 וכן m >0.